g(\cdot) $ 分别表示对相应事件做任意事件运算后所得的事件，另外，概率为 1 （或 0）的事件与任何事件相互独立. ## 随机变量及其概率分布 ### 1. 随机变量及概率分布 取值带有随机性的变量，严格地说是定义在样本空间上，取值于实数的函数称为随机变量，概率分布通常指分布函数或分布律 ### 2. 分布函数的概念与性质 定义： $ F(x) = P(X \leq x), -\infty F(-\infty) = 0, F(+\infty) = 1 $ ### 3. 离散型随机变量的概率分布 $$ P(X=x_{i})=p_{i},i=1,2,\cdots,n,\cdots\qquad p_{i}\geq0,\sum_{i=1}^{\infty}p_{i}=1 $$ ### 4. 连续型随机变量的概率密度 概率密度 $ f(x) $ ;非负可积，且: $ (1)f(x)\geq0 H(N,M,n) $ : $ P(X=k)=\frac{C_{M}^{k}C_{N-M}^{n-k}}{C_{N}^{n}}, k=0,1,\cdots,\min(n,M) $ ### 6. 随机变量函数的概率分布 (1)离散型： $ P(X=x_{1})=p_{i},Y=g(X) $ $$ P(Y=y_{j})=\sum_{g(x_{i})=y_{i}}P(X=x_{i}) $$

副教授 2021年07月 ## 目录 01 随机事件和概率 02 随机变量及其概率分布 03 多维随机变量及其分布 04 随机变量的数字特征 05 数理统计的基本概念 ### 1. 随机事件和概率 ## 01 随机事件和概率 02 随机变量及其概率分布 03 多维随机变量及其分布 04 随机变量的数字特征 05 数理统计的基本概念 ### 1. 随机事件和概率 ### 0）的事件与任何事件相互独立. ### 2. 随机变量及其概率分布 01 随机事件和概率 02 随机变量及其概率分布 03 多维随机变量及其分布 04 随机变量的数字特征 05 数理统计的基本概念 ### 2. 随机变量及其概率分布 ### 1. 随机变量及概率分布 取值带有随机性的变量，严格地说是定义在样本空间上，取值于实数的函数称为随机变量，概率分布通常指分布函数或分布律 ### 2 F(-\infty)=0,F(+\infty)=1 $ ### 2. 随机变量及其概率分布 ### 3. 离散型随机变量的概率分布 $$ P(X=x_{i})=p_{i},i=1,2,\cdots,n,\cdots\qquad p_{i}\geq0,\sum_{i=1}^{\infty}p_{i}=1 $$ ### 4. 连续型随机变量的概率密度 概率密度 $ f(x) $ ;非负可积，且: $

机器学习课程复习材料-概率论 概率论复习和参考 1. 概率的基本要素 1.1 条件概率和独立性 2. 随机变量 2.1 累积分布函数 2.2 概率质量函数 2.3 概率密度函数 2.4 期望 2.5 方差 2.6 一些常见的随机变量 3. 两个随机变量 3.1 联合分布和边缘分布 3.2 联合概率和边缘概率质量函数 3.3 联合概率和边缘概率密度函数 联合概率和边缘概率密度函数 3.4 条件概率分布 3.5 贝叶斯定理 3.6 独立性 3.7 期望和协方差 4. 多个随机变量 4.1 基本性质 4.2 随机向量 4.3 多元高斯分布 5. 其他资源 ## 概率论复习和参考 概率论是对不确定性的研究。通过这门课，我们将依靠概率论中的概念来推导机器学习算法。这篇笔记试图涵盖适用于CS22 P(A \cap B) = P(A)P(B) $ （或等价地， $ P(A|B) = P(A) $ ）。因此，独立性相当于是说观察到事件 B 对于事件 A 的概率没有任何影响。 ### 2. 随机变量 考虑一个实验，我们翻转10枚硬币，我们想知道正面硬币的数量。这里，样本空间Ω的元素是长度为10的序列。例如，我们可能有 $ w_{0}=\left\{H,H,T,H,T,H,H,T,T,T\right\}\in\Omega

\leq P(A) \leq 1 $ • 独立:两个事件互不影响, 性质之一: $ P(AB)=P(A)P(B) $ 随机变量: 是一个函数, 参数是所有可能的样本, 返回值是这些样本的取值, 例如 $ P(X = 2) = 0.25 $ ● 期望:随机变量以其概率为权重的加权平均值, 即 $ E(X)=\sum x_{i}p_{i} $ 方差:样本取值与期望之间的「距离」，距离定义为差的平方和，即 Var(X)=\sum(x_{i}-E(X))^{2} $ 概率密度函数: 是一个函数, 参数是随机变量取值, 返回值是随机变量取得该值的概率 ● 累积分布函数: 随机变量取值小于某个值的概率 • 正态分布:一种特殊的概率密度函数 $ N(\mu,\sigma^{2}) $ • 中心极限定理:无穷多个独立的随机变量的和服从正态分布 ## 检验的类型 - 统计是一套在总体分布函数完全未知或者只知道形

分离计算 ..... 71 2.5.4 Python控制流的梯度计算 ..... 72 2.6 概率 ..... 73 2.6.1 基本概率论 ..... 74 2.6.2 处理多个随机变量 ..... 77 2.6.3 期望和方差 ..... 80 2.7 查阅文档 ..... 81 2.7.1 查找模块中的所有函数和类 ..... 81 2.7.2 查找特定函数和类的用法 \sim P $ : 随机变量z具有概率分布P • $ P(X \mid Y) $ : $ X \mid Y $ 的条件概率 • $ p(x) $ : 概率密度函数 • $ E_{x}[f(x)] $ : 函数 f 对 x 的数学期望 $ X \perp Y $ : 随机变量X和Y是独立的 • $ X \perp Y \mid Z $ : 随机变量X和Y在给定随机变量Z的条件下是独立的 立的 • Var(X): 随机变量X的方差 $ \sigma_{X} $ : 随机变量X的标准差 • Cov(X,Y): 随机变量X和Y的协方差 • $ \rho(X,Y) $ : 随机变量X和Y的相关性 • $ H(X) $ : 随机变量X的熵 $ D_{\mathrm{KL}}(P\|Q) $ : P 和 Q 的 KL-散度 ## 复杂度 · O: 大O标记 Discussions

以 $ P(Y|X) $ 代表假设X成立的情下观察到Y数据的概率，因为它反映了在看到训练数据X后Y成立的置信度。 ### 1. 贝叶斯方法-背景知识 联合概率：联合概率是指在多元的概率分布中多个随机变量分别满足各自条件的概率。X与Y的联合概率表示为 $ P(X,Y) $ 、 $ P(XY) $ 或 $ P(X \cap Y) $ 。 假设X和Y都服从正态分布，那么 $ P(X<5,Y<0)

exception statistics.StatisticsError ValueError的子类，表示统计相关的异常。 ## 9.7.6 NormalDist 对象 NormalDist工具可用于创建和操纵随机变量的正态分布。这个类将数据度量值的平均值和标准差作为单一实体来处理。 正态分布的概念来自于中央极限定理并且在统计学中有广泛的应用。 ## class statistics.NormalDist (mu=0 使用概率密度函数（pdf），计算一个随机变量 X趋向于给定值 x的相对可能性。在数学意义上，它是当 dx趋向于零时比率 P（x<=X随机变量="" p（x="" <="x）。" ##="" inv_cdf="" (p)="" 计算反射累积分布函数，也称为分位数函数或百分点函数。在数学上，它表示为="" x：p（x="" <="x）=" p。="" 找出随机变量="" x的值="" x使得该变量小于等于该值的概率等于给定的概率="" p。="" ##="" overlap="" (other)="" 测量两个正态概率分布之间的一致性。返回介于0.0和1.

exception statistics.StatisticsError ValueError的子类，表示统计相关的异常。 ## 9.7.5 NormalDist 对象 NormalDist工具可用于创建和操纵随机变量的正态分布。这个类将数据度量值的平均值和标准差作为单一实体来处理。 正态分布的概念来自于中央极限定理并且在统计学中有广泛的应用。 ## class statistics.NormalDist (mu=0 使用概率密度函数（pdf），计算一个随机变量 X趋向于给定值 x的相对可能性。在数学意义上，它是当 dx趋向于零时比率 P（x <= X < x+dx）/ dx的极限。 相对可能性的计算方法是用一个狭窄区间内某个样本出现的概率除以区间的宽度（因此使用“密度”一词）。由于可能性是相对于其他点的，它的值可以大于1.0。 cdf (x) 使用累积分布函数（cdf），计算一个随机变量 X小于等于 x的概率。在数学上，它表示为 x的概率。在数学上，它表示为 P（X<= x）。 ## inv_cdf (p) 计算反向累积分布函数，也称为分位数函数或百分点函数。在数学上，它表示为 x：P（X<= x）= p。 找出随机变量 X的值 x使得该变量小于等于该值的概率等于给定的概率 p。 ## overlap (other) 测量两个正态概率分布之间的一致性。返回介于0.0和1.0之间的值，给出两个概率密度函数的重叠区域。

exception statistics.StatisticsError ValueError的子类，表示统计相关的异常。 ## 9.7.6 NormalDist 对象 NormalDist工具可用于创建和操纵随机变量的正态分布。这个类将数据度量值的平均值和标准差作为单一实体来处理。 正态分布的概念来自于中央极限定理并且在统计学中有广泛的应用。 ## class statistics.NormalDist (mu=0 使用概率密度函数（pdf），计算一个随机变量 X趋向于给定值 x的相对可能性。在数学意义上，它是当 dx趋向于零时比率 P（x <= X < x+dx）/ dx的极限。 相对可能性的计算方法是用一个狭窄区间内某个样本出现的概率除以区间的宽度（因此使用"density”一词）。由于可能性是相对于其他点的，因此它的值可以大于1.0。 ## cdf (x) 使用累积分布函数（cdf），计算一个随机变量 X小于等于 x的概率。在数学上，它表示为 P（X < = x）。 ## inv_cdf (p) 计算反射累积分布函数，也称为分位数函数或百分点函数。在数学上，它表示为 x：P（X <= x）= p。 找出随机变量 X的值 x使得该变量小于等于该值的概率等于给定的概率 p。 ## overlap (other) 测量两个正态概率分布之间的一致性。返回介于0.0和1.0之间的值，给出两个概率密度函数的重叠区域。

exception statistics.StatisticsError ValueError 的子类，表示统计相关的异常。 9.7.5 NormalDist 对象 NormalDist 工具可用于创建和操纵 随机变量 的正态分布。这个类将数据度量值的平均值和标准差作为单 一实体来处理。 正态分布的概念来自于 中央极限定理 并且在统计学中有广泛的应用。 class statistics.NormalDist(mu=0 (pdf)，计算一个随机变量 X 趋向于给定值 x 的相对可能性。在数学意义上，它 是当 dx 趋向于零时比率 P(x <= X < x+dx) / dx 的极限。 相对可能性的计算方法是用一个狭窄区间内某个样本出现的概率除以区间的宽度（因此使用“密 度”一词）。由于可能性是相对于其他点的，它的值可以大于 1.0。 cdf(x) 使用 累积分布函数 (cdf)，计算一个随机变量 X 小于等于 x 的概率。在数学上，它表示为 函数。在数学上，它表示为 x : P(X <= x) = p。 350 Chapter 9. 数字和数学模块 The Python Library Reference, 发布 3.9.20 找出随机变量 X 的值 x 使得该变量小于等于该值的概率等于给定的概率 p。 overlap(other) 测量两个正态概率分布之间的一致性。返回介于 0.0 和 1.0 之间的值，给出 两个概率密度函数的 重叠区域。