机器学习课程-温州大学-02-数学基础回顾-0.机器学习的数学基础整理（国内教材）

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摘要

文档《机器学习课程-温州大学-02-数学基础回顾-0.机器学习的数学基础整理（国内教材）》系统地介绍了机器学习的数学基础知识，主要涵盖高等数学、线性代数和概率论与数理统计三个方面。在高等数学部分，详细讲解了导数的定义、函数的可导性与连续性、泰勒公式以及曲线的切线、法线、曲率和曲率半径等内容。在线性代数部分，重点介绍了正定矩阵的定义、性质及判定方法，包括特征值、正交矩阵分解等内容。概率论与数理统计部分涵盖了事件的关系与概率基本概念、样本分布、假设检验等内容，包括正态总体的常用样本分布及其相关统计量。

AI总结

### 《机器学习课程-数学基础回顾》总结

以下是对《机器学习课程-数学基础回顾》文档内容的总结，重点突出核心观点和关键信息：

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### 一、高等数学
1. **导数与微分**
- 导数定义：函数在某点的导数反映了其变化率，表达式为：
\[
f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}
\]
- 左导数和右导数的定义：
\[
f'_-(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0^-} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}
\]
\[
f'_+(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0^+} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}
\]
- 可导性与连续性关系：
- 可导 ⇒ 连续，但反之不一定成立。
- 若左导数和右导数存在且相等，则函数在该点可导。

2. **切线与法线**
- 切线方程：
\[
y - y_0 = f'(x_0)(x - x_0)
\]
- 法线方程：
\[
y - y_0 = -\frac{1}{f'(x_0)}(x - x_0), \quad f'(x_0) \neq 0
\]

3. **泰勒公式**
- 泰勒展开的麦克劳林公式：
\[
f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n + R_n(x)
\]
- 常用函数的泰勒展开：
- \(e^x\): \(1 + x + \frac{x^2}{2!} + \cdots + \frac{x^n}{n!} + o(x^n)\)
- \(\sin x\): \(x - \frac{x^3}{3!} + \cdots + (-1)^k \frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!} + o(x^{2k+1})\)
- \(\cos x\): \(1 - \frac{x^2}{2!} + \cdots + (-1)^k \frac{x^{2k}}{(2k)!} + o(x^{2k})\)

4. **函数单调性与极值**
- 单调性判断：
- 若\(f'(x) > 0\)（或<0）在区间内，函数单调递增（或递减）。
- 极值条件：
- 极值点处导数为0。
- 极大值或极小值由导数在该点的变化判断。

5. **弧微分与曲率**
- 弧微分：
\[
dS = \sqrt{1 + y'^2} \, dx
\]
- 曲率公式：
\[
k = \frac{|y''|}{(1 + y'^2)^{3/2}}
\]

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### 二、线性代数
1. **正定矩阵**
- 定义与性质：
- 正定矩阵满足对任意非零向量\(x\)，\(x^T A x > 0\)。
- 正定矩阵的特征值全大于0。
- 顺序主子式全大于0。
- 可对角化为正定对角矩阵。

2. **矩阵运算**
- 四则运算法则。
- 正定矩阵的性质：
- 数乘、转置、逆矩阵、伴随矩阵均正定。
- 行列式大于0。

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### 三、概率论与数理统计
1. **事件与概率**
- 事件关系：
- 子事件、和事件、差事件、积事件、互斥事件、互逆事件。
- 概率基本概念：
- 概率的严格定义和常用性质。

2. **样本分布**
- 正态总体的常用分布：
- 样本均值\(X\)服从正态分布。
- 样本方差\(S^2\)与\(\sigma^2\)满足\(\chi^2\)分布。

3. **重要公式与结论**
- 期望与方差：
\[
E(X) = \mu, \quad E(S^2) = \sigma^2
\]
- \(t\)分布、\(F\)分布、\(\chi^2\)分布的性质。

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以上是文档内容的核心总结，涵盖了机器学习中常用的数学基础知识，包括高等数学、线性代数和概率论与数理统计的主要理论和公式。