## PyTorch ## 什么是梯度 主讲人：龙良曲 ## Clarification 导数, derive - 偏微分, partial derive 梯度, gradient $$ \nabla f=\left(\frac{\partial f}{\partial x_{1}};\frac{\partial f}{\partial x_{2}};\ldots;\frac{\partial

## 机器学习-高等数学回顾 黄海广 副教授 2021年07月 ## 高等数学 ### 1. 导数定义： 导数和微分的概念 $$ f^{\prime}(x_{0})=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x} $$ 或者： $ f'(x_{0}) = \lim_{x \to x_{0}} \frac{f(x) \frac{f(x) - f(x_{0})}{x - x_{0}} $ ## 高等数学 ### 2. 左右导数导数的几何意义和物理意义 函数 $ f(x) $ 在 $ x_{0} $ 处的左、右导数分别定义为： 左导数： $ f_{-}^{\prime}(x_{0})=\lim_{\Delta x\to0^{-}}\frac{f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}=\lim_{x\to x_{0}^{-}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}},(x=x_{0}+\Delta x) $ 右导数： $ f_{+}^{\prime}(x_{0})=\lim_{\Delta x\to0^{+}}\frac{f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}=\lim_{x\to x_{0}^{+}}\fr

1. 导数定义： 导数和微分的概念 $$ f^{\prime}(x_{0})=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x} $$ $$ f^{\prime}(x_{0})=\lim_{x\to x_{0}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}} $$ ### 2. 左右导数导数的几何意义和物理意义 左右导数导数的几何意义和物理意义 函数 $ f(x) $ 在 $ x_{0} $ 处的左、右导数分别定义为： $$ f^{\prime}_{-}(x_{0})=\lim_{\Delta x\to0^{-}}\frac{f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}=\lim_{x\to x_{0}^{-}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}},(x=x_{0}+\Delta u^{\prime}-uv^{\prime}}{v^{2}}(v\neq0) $$ $$ d(\frac{u}{v})=\frac{vdu-udv}{v^{2}} $$ ### 6. 基本导数与微分表 (1) y = c （常数） 则： $ y' = 0 $ dy = 0 (2) $ y = x^{\alpha} $ ( $ \alpha $ 为实数) 则： $ y'

6.6 误差计算 6.7 神经网络类型 6.8 油耗预测实战 6.9 参考文献 第7章 反向传播算法 7.1 导数与梯度 7.2 导数常见性质 7.3 激活函数导数 7.4 损失函数梯度 7.5 全连接层梯度 7.6 链式法则 7.7 反向传播算法 7.8 Himmelblau 函数优化实战 提供的自动求导的功能，不需要手动推导，就可计算输出对网络参数的偏导数。考虑如下函数的表达式： $$ y=aw^{2}+bw+c $$ 输出y对于变量w的导数关系为: $$ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}w}=2aw+b $$ 考虑在 $ (a,b,c,w)=(1,2,3,4) $ 处的导数，代入上式可得 $ \frac{dy}{dw}=2\cdot1\cdot4+2=10 dot4+2=10 $ 。因此通过手动推导的方式计算出 $ \frac{dy}{dw} $ 导数值为10。 借助于 PyTorch，可以不需要手动推导导数的表达式，只需要给出函数的表达式，即可由 PyTorch 自动求导。上式的自动求导代码实现如下： import torch # 导入梯度计算函数 from torch import autograd # 创建 4 个张量 a = torch

\times n $ 的矩阵 $ A \in R^{m \times n} $ 作为输入并返回实数值的函数。然后 f 的梯度（相对于 $ A \in R^{m \times n} $ ）是偏导数矩阵，定义如下： $$ \nabla_{A}f(A)\in\mathbb{R}^{m\times n}=\begin{bmatrix}\frac{\partial f(A)}{\partial x，我们不能取 Ax 的梯度，因为这个量是向量值。它直接从偏导数的等价性质得出： $$ \nabla_{x}(f(x)+g(x))=\nabla_{x}f(x)+\nabla_{x}g(x) $$ • 对于 $ t\inR $ ， $ \nabla_{x}(tf(x))=t\nabla_{x}f(x) $ 原则上，梯度是偏导数对多变量函数的自然延伸。然而，在实践中，由于符号的原因，使用梯度有时是很困难的。例如，假设 $ 中的向量并返回实数。那么关于 x 的黑塞矩阵（也有翻译作海森矩阵），写做： $ \nabla_{x}^{2} f(Ax) $ ，或者简单地说，H 是 $ n \times n $ 矩阵的偏导数： $$ \nabla_{x}^{2}f(x)\in\mathbb{R}^{n\times n}=\left[\begin{array}{cccc}\frac{\partial^{2}f(x)}{\partial

..... 59 2.3.10 范数 ..... 60 2.3.11 关于线性代数的更多信息 ..... 62 2.4 微积分 ..... 63 2.4.1 导数和微分 ..... 64 2.4.2 偏导数 ..... 68 2.4.3 梯度 ..... 68 2.4.4 链式法则 ..... 68 2.5 自动微分 ..... 69 2.5.1 一个简单的例子 ：向量x和y的点积 · $ \sum $ : 连加 ·Π: 连乘 ·def：定义 ## 微积分 · $ \frac{dy}{dx} $ ：y关于x的导数 • $ \frac{\partial y}{\partial x} $ ：y关于x的偏导数 · $ \nabla_{x}y $ : y 关于 x 的梯度 $ \int_{a}^{b}f(x)dx $ : f在a到b区间上关于x的定积分 。 #### 2.4.1 导数和微分 我们首先讨论导数的计算，这是几乎所有深度学习优化算法的关键步骤。在深度学习中，我们通常选择对于模型参数可微的损失函数。简而言之，对于每个参数，如果我们把这个参数增加或减少一个无穷小的量，可以知道损失会以多快的速度增加或减少， 假设我们有一个函数 $ f: R \rightarrow R $ ，其输入和输出都是标量。如果f的导数存在，这个极限被定义为 $$

|Ω|ω|omega|omiga|欧米| ### 3. 机器学习的背景知识-数学基础 ## 高等数学 导数、微分、泰勒公式..... ## 线性代数 向量、矩阵、行列式、秩、线性方程组、特征值和特征向量..... ## 概率论与数理统计 随机事件和概率、概率的基本性质和公式、常见分布、期望、协方差..... ## 高等数学-导数 导数(Derivative)，也叫导函数值。又名微商，是微积分中的重要基础概念。当函数 \Delta x $ 时，函数输出值的增量 $ \Delta y $ 与自变量增量 $ \Delta x $ 的比值在 $ \Delta x $ 趋于0时的极限a如果存在，a即为在 $ x_{0} $ 处的导数，记作 $ f'(x_{0}) $ 。  - f(x_0)}{\Delta x} $ 则称此极限为函数 $ y = f(x) $ 在点 $ x_{0} $ 处的导数， $ f'(x_{0})

|Ω|ω|omega|omiga|欧米| ### 3. 深度学习的背景知识-数学基础 ## 高等数学 导数、微分、泰勒公式..... ## 线性代数 向量、矩阵、行列式、秩、线性方程组、特征值和特征向量..... ## 概率论与数理统计 随机事件和概率、概率的基本性质和公式、常见分布、期望、协方差..... ## 高等数学-导数 导数(Derivative)，也叫导函数值。又名微商，是微积分中的重要基础概念。当函数 \Delta x $ 时，函数输出值的增量 $ \Delta y $ 与自变量增量 $ \Delta x $ 的比值在 $ \Delta x $ 趋于0时的极限a如果存在，a即为在 $ x_{0} $ 处的导数，记作 $ f'(x_{0}) $ 。  - f(x_0)}{\Delta x} $ 则称此极限为函数 $ y = f(x) $ 在点 $ x_{0} $ 处的导数， $ f'(x_{0})