机器学习课程-温州大学-高等数学回顾

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摘要

文档主要回顾了高等数学中的导数概念及其应用。首先介绍了导数的定义，包括导数的两种表达形式。接着详细讲解了导数的基本运算法则，包括四则运算的导数规则及相关证明。同时，涵盖了平面曲线的切线和法线方程，以及反函数、复合函数等的导数运算法则。此外，还涉及了一些特殊函数的导数形式，如对数函数、指数函数以及双曲函数等，包括了莱布尼兹公式和微分中值定理的相关内容。

AI总结

《机器学习课程-温州大学-高等数学回顾》摘要：

本文档回顾了高等数学的部分核心内容，重点涵盖了导数、中值定理、泰勒展开、复合函数微分及基本导数表等内容，具体如下：

1. **导数的定义**
- 导数定义为函数在某点的瞬时变化率，表达式为：
\[
f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}
\]
或：
\[
f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}.
\]

2. **曲线切线与法线方程**
- 切线方程：\( y - y_0 = f'(x_0)(x - x_0) \)
- 法线方程：\( y - y_0 = -\frac{1}{f'(x_0)}(x - x_0) \)，其中 \( f'(x_0) \neq 0 \)。

3. **四则运算法则**
- 加减法：\( (u \pm v)' = u' \pm v' \)
- 乘法：\( (uv)' = u'v + uv' \)，微分形式为 \( d(uv) = u \, dv + v \, du \)
- 除法：\( \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{v u' - u v'}{v^2} \)，微分形式为 \( d\left(\frac{u}{v}\right) = \frac{v \, du - u \, dv}{v^2} \)。

4. **中值定理**
- 拉格朗日中值定理：若函数 \( f(x) \) 在区间 \([a, b]\) 上连续且可导，则存在 \(\xi \in (a, b)\)，使：
\[
\frac{f(b) - f(a)}{b - a} = f'(\xi).
\]
- 柯西中值定理：若 \( f(x) \) 和 \( g(x) \) 满足条件，则存在 \(\xi \in (a, b)\)，使：
\[
\frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} = \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}.
\]

5. **泰勒展开与莱布尼兹公式**
- 泰勒展开用于函数近似，莱布尼兹公式为高阶导数的计算提供了工具：
\[
(uv)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} u^{(k)} v^{(n-k)}.
\]

6. **复合函数、反函数、隐函数与参数方程的微分**
- 反函数导数：若 \( y = f(x) \) 可导且 \( f'(x) \neq 0 \)，则反函数 \( x = f^{-1}(y) \) 的导数为：
\[
\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\frac{dx}{dy}}.
\]
- 复合函数导数：若 \( y = f(u) \) 且 \( u = \varphi(x) \)，则：
\[
y' = f'(u) \cdot \varphi'(x).
\]

7. **基本导数与微分表**
- 常数函数：\( y = c \)，导数为 \( y' = 0 \)
- 幂函数：\( y = x^\alpha \)，导数为 \( y' = \alpha x^{\alpha - 1} \)
- 指数函数：\( y = a^x \)，导数为 \( y' = a^x \ln a \)
- 对数函数：\( y = \log_a x \)，导数为 \( y' = \frac{1}{x \ln a} \)
- 双曲函数：
\[
\frac{d}{dx}(\sinh x) = \cosh x, \quad \frac{d}{dx}(\cosh x) = \sinh x.
\]

以上内容为高等数学在机器学习课程中的回顾，涵盖了基础知识及关键定理，旨在为后续学习提供数学基础。