# 现代编程思想 树 Hongbo Zhang ## 数据结构：树 • 树 · 二叉树 • 二叉搜索树 • 二叉平衡树 ## 生活中的树状图 - 生活中有很多的数据的结构与一颗树相似 - 谱系图（又称，家族树） ☐ 文件结构 ☐ 数学表达式 , \left(0, 2\right), \left(1, 3\right) $$ ☐ 代数数据结构定义 线段树：每一个节点都存储了一根线段及对应的数据，适合一维查询 • 二叉树：每个节点至多有两个分支：左子树与右子树 - KD-Tree：支持K-维度的数据（例如平面中的点、空间中的点等）的存储与查询的二叉树，每一层更换分叉判定的维度 • B-Tree：适合顺序访问，利于硬盘存储数据 • R-Tree：存储空间几何结构 · ..... ## 数据结构：二叉树 - 二叉树要么是一棵空树，要么是一个节点；它最多具有两个子树：左子树与右子树。

RV32I 的算术指令翻译成 ARM-32 和 x86-32。……171 B.3 RV32I 的控制流指令翻译成 ARM-32 和 x86-32。……172 B.4 一个使用中序遍历对二叉树求和的 C 程序。……174 B.5 中序遍历树的 RV32I 代码。……175 B.6 中序遍历树的 ARM-32 代码。……176 B.7 中序遍历树的 x86-32 代码。……177 a1, 4 和 divu t2, a1, a2 的结果相同。 $$ 积 = 被乘数 \times 乘数 $$ 但它实际比除法更复杂，因为积的位宽是被乘数和乘数两者的位宽之和：两个32位数相乘结果为64位。RISC-V提供四条乘法指令来计算有符号和无符号的64位积。mul指令用于获取积的低32位。要获取64位积的高32位，分3种情况：两个操作数均为有符号数时使用mulh指令，均为无符号数 u指令，一个有符号一个无符号时使用mulhsu指令。用一条指令将64位积写入两个32位寄存器会增加硬件复杂度，因此RV32M需要两条乘法指令才能得到完整的64位积。 整数除法在很多微处理器上都是相对耗时的操作。上文提到，可用右移操作代替除数为2的幂次的无符号除法。事实上，除数为常数的除法也能优化：先乘以一个近似的倒数，再校正积的高位部分。例如，图4.3的代码展示了除数为3的无符号除法。 有何不同？长期以来，ARM-32

p17_1.jpg)  1×1卷积层就是这样实现了一些重要功能的（doing something pretty non-trivial），它给神经网络添加了一个非线性函数，从而减少或保持输入层中的通道数量不变，当然如果你愿意，也可以增加通道数量。

selected elements. The 单位 can be set in the Scene properties. 边长 显⽰所选边边长。 边的夹⾓ 显⽰所选边相邻⾯之间的夹⾓。 ⾯的⾯积 显⽰所选⾯的⾯积。 ⾯内⾓ 显⽰所选⾯的各内⾓⾓度。 Tip 变换时会显⽰连接到所选项的⼏何图形，例如，允许移动顶点并查看连接的 边长。 Note These values respect the Transform that are connected to the currently selected ones. 钉固:: 长度:: 3D长度:: 钉固:: ⾯光:: 3D⾯积:: 材质:: 物体:: 多边形⾯数:: 翻转/未翻转:: ⾯光:: 3D⾯积:: 孤岛中的⾯数:: 相等:: ⼤于:: ⼩于:: 最短路径 Selects the path between two selected elements. (See similar length in the 3D mesh. Selects edges with the same pinned state. ⾯选择模式 选择在UV贴图中具有相似⾯积的⾯。 选择在3D⽹格中具有相似⾯积的⾯。 选择具有相同 材质 的⾯。 Selects faces that belong to the same object. This is useful when multiple

5.2. 队列 5.3. 双向队列 5.4. 小结 6. 散列表 6.1. 哈希表 6.2. 哈希冲突 6.3. 小结 7. 树 7.1. 二叉树 7.2. 二叉树遍历 7.3. 二叉搜索树 7.4. AVL树* 7.5. 小结 8. 堆 8.1. 堆 8.2. 建堆操作* 8.3. 小结 9. 图 126 9.1. 图 126 省略所有系数。例如，循环 2n 次、 $ 5n+1 $ 次、……，都可以化简记为 n 次，因为 n 前面的系数对时间复杂度也不产生影响。 3. 循环嵌套时使用乘法。总操作数量等于外层循环和内层循环操作数量之积，每一层循环依然可以分别套用上述 1. 和 2. 技巧。 以下示例展示了使用上述技巧前、后的统计结果。 $$ \begin{aligned}T(n)&=2n(n+1)+(5n+1)+2& [Image](/uploads/documents/a/3/6/c/a36c6607364e062c2c586d931dafcdb3/p33_2.jpg) 部分示例代码需要一些前置知识，包括数组、链表、二叉树、递归算法等。如果遇到看不懂的地方无需担心，可以在学习完后面章节后再来复习，现阶段先聚焦在理解空间复杂度含义和推算方法上。 ## 常数阶 $ O(1) $ 常数阶常见于数量与输入数据大小 n

5.2. 队列 5.3. 双向队列 5.4. 小结 6. 散列表 6.1. 哈希表 6.2. 哈希冲突 6.3. 小结 7. 树 7.1. 二叉树 7.2. 二叉树遍历 7.3. 二叉搜索树 7.4. AVL树* 7.5. 小结 8. 堆 8.1. 堆 8.2. 建堆操作* 8.3. 小结 10. 123 13 27 34 省略所有系数。例如，循环 2n 次、 $ 5n+1 $ 次、……，都可以化简记为 n 次，因为 n 前面的系数对时间复杂度也不产生影响。 3. 循环嵌套时使用乘法。总操作数量等于外层循环和内层循环操作数量之积，每一层循环依然可以分别套用上述 1. 和 2. 技巧。 以下示例展示了使用上述技巧前、后的统计结果。 $$ \begin{aligned}T(n)&=2n(n+1)+(5n+1)+2\quad [Image](/uploads/documents/c/4/2/1/c4210fafaddf269065f9c0217e1393df/p35_2.jpg) 部分示例代码需要一些前置知识，包括数组、链表、二叉树、递归算法等。如果遇到看不懂的地方无需担心，可以在学习完后面章节后再来复习，现阶段先聚焦在理解空间复杂度含义和推算方法上。 ## 常数阶 $ O(1) $ 常数阶常见于数量与输入数据大小 n 无关的常量、变量、对象。

5.2. 队列 5.3. 双向队列 5.4. 小结 6. 散列表 6.1. 哈希表 6.2. 哈希冲突 6.3. 小结 7. 树 7.1. 二叉树 7.2. 二叉树遍历 7.3. 二叉搜索树 7.4. AVL树* 7.5. 小结 8. 堆 8.1. 堆 8.2. 建堆操作* 8.3. 小结 101 109 120 122 省略所有系数。例如，循环 2n 次、 $ 5n+1 $ 次、……，都可以化简记为 n 次，因为 n 前面的系数对时间复杂度也不产生影响。 3. 循环嵌套时使用乘法。总操作数量等于外层循环和内层循环操作数量之积，每一层循环依然可以分别套用上述 1. 和 2. 技巧。 以下示例展示了使用上述技巧前、后的统计结果。 $$ \begin{aligned}T(n)&=2n(n+1)+(5n+1)+2\quad [Image](/uploads/documents/8/3/4/8/834807da689a19f979d0c329c637b2bd/p35_1.jpg) 部分示例代码需要一些前置知识，包括数组、链表、二叉树、递归算法等。如果遇到看不懂的地方无需担心，可以在学习完后面章节后再来复习，现阶段先聚焦在理解空间复杂度含义和推算方法上。 ## 常数阶 $ O(1) $ 常数阶常见于数量与输入数据大小 n

5.2. 队列 5.3. 双向队列 5.4. 小结 6. 散列表 6.1. 哈希表 6.2. 哈希冲突 6.3. 小结 7. 树 7.1. 二叉树 7.2. 二叉树遍历 7.3. 二叉搜索树 7.4. AVL树* 7.5. 小结 8. 堆 8.1. 堆 8.2. 建堆操作* 8.3. 小结 9. 图 136 9.1. 图 136 省略所有系数。例如，循环 2n 次、 $ 5n+1 $ 次、……，都可以化简记为 n 次，因为 n 前面的系数对时间复杂度也不产生影响。 3. 循环嵌套时使用乘法。总操作数量等于外层循环和内层循环操作数量之积，每一层循环依然可以分别套用上述 1. 和 2. 技巧。 以下示例展示了使用上述技巧前、后的统计结果。 $$ \begin{aligned}T(n)&=2n(n+1)+(5n+1)+2\quad [Image](/uploads/documents/6/e/4/9/6e491024041f225ae5bbf102c9220f0f/p35_2.jpg) 部分示例代码需要一些前置知识，包括数组、链表、二叉树、递归算法等。如果遇到看不懂的地方无需担心，可以在学习完后面章节后再来复习，现阶段先聚焦在理解空间复杂度含义和推算方法上。 ## 常数阶 $ O(1) $ 常数阶常见于数量与输入数据大小 n