，而在输入数据量较大时，测试结果截然相反。因此，若想要达 到具有说服力的对比结果，那么需要输入各种体量数据，这样的测试需要占用大量计算资源。 理论估算 既然实际测试具有很大的局限性，那么我们是否可以仅通过一些计算，就获知算法的效率水平呢？答案 是肯定的，我们将此估算方法称为「复杂度分析 Complexity Analysis」或「渐近复杂度分析 Asymptotic Complexity Analysis」。 hello‑algo.com 15 Figure 2‑1. 算法 A, B, C 的时间增长趋势 相比直接统计算法运行时间，时间复杂度分析的做法有什么好处呢？以及有什么不足？ 时间复杂度可以有效评估算法效率。算法 B 运行时间的增长是线性的，在 ? > 1 时慢于算法 A ，在 ? > 1000000 时慢于算法 C 。实质上，只要输入数据大小 ? 足够大，复杂度为「常数阶」的算法一定优于 「 「计算操作的数量」，这是因为，无论是运行平台还是计算操作类型，都与算法运行时间的增长趋势无关。因而， 我们可以简单地将所有计算操作的执行时间统一看作是相同的“单位时间”，这样的简化做法大大降低了估算 难度。 时间复杂度也存在一定的局限性。比如，虽然算法 A 和 C 的时间复杂度相同，但是实际的运行时间有非常大的 差别。再比如，虽然算法 B 比 C 的时间复杂度要更高，但在输入数据大小 ?

，而在输入数据量较大时，测试结果截然相反。因此，若想要达 到具有说服力的对比结果，那么需要输入各种体量数据，这样的测试需要占用大量计算资源。 理论估算 既然实际测试具有很大的局限性，那么我们是否可以仅通过一些计算，就获知算法的效率水平呢？答案 是肯定的，我们将此估算方法称为「复杂度分析 Complexity Analysis」或「渐近复杂度分析 Asymptotic Complexity Analysis」。 hello‑algo.com 15 Figure 2‑1. 算法 A, B, C 的时间增长趋势 相比直接统计算法运行时间，时间复杂度分析的做法有什么好处呢？以及有什么不足？ 时间复杂度可以有效评估算法效率。算法 B 运行时间的增长是线性的，在 ? > 1 时慢于算法 A ，在 ? > 1000000 时慢于算法 C 。实质上，只要输入数据大小 ? 足够大，复杂度为「常数阶」的算法一定优于 「 「计算操作的数量」，这是因为，无论是运行平台还是计算操作类型，都与算法运行时间的增长趋势无关。因而， 我们可以简单地将所有计算操作的执行时间统一看作是相同的“单位时间”，这样的简化做法大大降低了估算 难度。 时间复杂度也存在一定的局限性。比如，虽然算法 A 和 C 的时间复杂度相同，但是实际的运行时间有非常大的 差别。再比如，虽然算法 B 比 C 的时间复杂度要更高，但在输入数据大小 ?

时间效率：算法运行速度的快慢。 ‧ 空间效率：算法占用内存空间的大小。 简而言之，我们的目标是设计“既快又省”的数据结构与算法。而有效地评估算法效率至关重要，因为只有 这样，我们才能将各种算法进行对比，进而指导算法设计与优化过程。 效率评估方法主要分为两种：实际测试、理论估算。 2.1.1 实际测试 假设我们现在有算法 A 和算法 B ，它们都能解决同一问题，现在需要对比这两个算法的效率。最直接的方法 短；而在输入数据量较大时，测试结果可能恰恰相反。因此，为 了得到有说服力的结论，我们需要测试各种规模的输入数据，而这需要耗费大量的计算资源。 2.1.2 理论估算 由于实际测试具有较大的局限性，因此我们可以考虑仅通过一些计算来评估算法的效率。这种估算方法被称 为渐近复杂度分析（asymptotic complexity analysis），简称复杂度分析。 复杂度分析能够体现算法运行所需的时间和空 com 19 ‧ 它可以体现不同数据量下的算法效率，尤其是在大数据量下的算法性能。 Tip 如果你仍对复杂度的概念感到困惑，无须担心，我们会在后续章节中详细介绍。 复杂度分析为我们提供了一把评估算法效率的“标尺”，使我们可以衡量执行某个算法所需的时间和空间资 源，对比不同算法之间的效率。 复杂度是个数学概念，对于初学者可能比较抽象，学习难度相对较高。从这个角度看，复杂度分析可能不太 适

时间效率：算法运行速度的快慢。 ‧ 空间效率：算法占用内存空间的大小。 简而言之，我们的目标是设计“既快又省”的数据结构与算法。而有效地评估算法效率至关重要，因为只有 这样我们才能将各种算法进行对比，从而指导算法设计与优化过程。 效率评估方法主要分为两种：实际测试、理论估算。 2.1.1 实际测试 假设我们现在有算法 A 和算法 B ，它们都能解决同一问题，现在需要对比这两个算法的效率。最直接的方法 更少；而输入数据量较大时，测试结果可能恰恰相反。因此，为 了得到有说服力的结论，我们需要测试各种规模的输入数据，而这需要耗费大量的计算资源。 2.1.2 理论估算 由于实际测试具有较大的局限性，我们可以考虑仅通过一些计算来评估算法的效率。这种估算方法被称为 「渐近复杂度分析 asymptotic complexity analysis」，简称「复杂度分析」。 复杂度分析体现算法运行所需的时间（空 hello‑algo.com 18 ‧ 它可以体现不同数据量下的算法效率，尤其是在大数据量下的算法性能。 � 如果你仍对复杂度的概念感到困惑，无须担心，我们会在后续章节中详细介绍。 复杂度分析为我们提供了一把评估算法效率的“标尺”，使我们可以衡量执行某个算法所需的时间和空间资 源，对比不同算法之间的效率。 复杂度是个数学概念，对于初学者可能比较抽象，学习难度相对较高。从这个角度看，复杂度分析可能不太 适

时间效率：算法运行速度的快慢。 ‧ 空间效率：算法占用内存空间的大小。 简而言之，我们的目标是设计“既快又省”的数据结构与算法。而有效地评估算法效率至关重要，因为只有 这样，我们才能将各种算法进行对比，进而指导算法设计与优化过程。 效率评估方法主要分为两种：实际测试、理论估算。 2.1.1 实际测试 假设我们现在有算法 A 和算法 B ，它们都能解决同一问题，现在需要对比这两个算法的效率。最直接的方法 短；而在输入数据量较大时，测试结果可能恰恰相反。因此，为 了得到有说服力的结论，我们需要测试各种规模的输入数据，而这需要耗费大量的计算资源。 2.1.2 理论估算 由于实际测试具有较大的局限性，因此我们可以考虑仅通过一些计算来评估算法的效率。这种估算方法被称 为「渐近复杂度分析 asymptotic complexity analysis」，简称「复杂度分析」。 复杂度分析能够体现算法运行所需的时 hello‑algo.com 19 ‧ 它可以体现不同数据量下的算法效率，尤其是在大数据量下的算法性能。 � 如果你仍对复杂度的概念感到困惑，无须担心，我们会在后续章节中详细介绍。 复杂度分析为我们提供了一把评估算法效率的“标尺”，使我们可以衡量执行某个算法所需的时间和空间资 源，对比不同算法之间的效率。 复杂度是个数学概念，对于初学者可能比较抽象，学习难度相对较高。从这个角度看，复杂度分析可能不太 适

因此，在能够解决问题的前提下，算法效率成为主要的评价维度，主要包括： ‧ 时间效率，即算法运行速度的快慢。 ‧ 空间效率，即算法占用内存空间的大小。 简而言之，我们的目标是设计“既快又省”的数据结构与算法。掌握评估算法效率的方法则至关重要，因为 只有了解评价标准，我们才能进行算法之间的对比分析，从而指导算法设计与优化过程。 2.1.2. 效率评估方法 实际测试 假设我们现在有算法 A 和算法 B，它们都 的运行时间可能短于算法 B；而输入数据量较大时，测试结果可能相反。因此，为了得到有说服力的 结论，我们需要测试各种规模的输入数据，这样需要占用大量的计算资源。 理论估算 由于实际测试具有较大的局限性，我们可以考虑仅通过一些计算来评估算法的效率。这种估算方法被称为 「复杂度分析 Complexity Analysis」或「渐近复杂度分析 Asymptotic Complexity Analysis」。 次，它可以体现不同数据量下的算法效率，尤其是在大数据量下的算法性能。 如果你对复杂度分析的概念仍感到困惑，无需担心，我们会在后续章节详细介绍。 2.1.3. 复杂度分析重要性 复杂度分析为我们提供了一把评估算法效率的“标尺”，告诉我们执行某个算法所需的时间和空间资源，并使 我们能够对比不同算法之间的效率。 复杂度是个数学概念，对于初学者可能比较抽象，学习难度相对较高。从这个角度看，复杂度分析可能不太

时间效率：算法运行时间的长短。 ‧ 空间效率：算法占用内存空间的大小。 简而言之，我们的目标是设计“既快又省”的数据结构与算法。而有效地评估算法效率至关重要，因为只有 这样，我们才能将各种算法进行对比，进而指导算法设计与优化过程。 效率评估方法主要分为两种：实际测试、理论估算。 2.1.1 实际测试 假设我们现在有算法 A 和算法 B ，它们都能解决同一问题，现在需要对比这两个算法的效率。最直接的方法 短；而在输入数据量较大时，测试结果可能恰恰相反。因此，为 了得到有说服力的结论，我们需要测试各种规模的输入数据，而这需要耗费大量的计算资源。 2.1.2 理论估算 由于实际测试具有较大的局限性，因此我们可以考虑仅通过一些计算来评估算法的效率。这种估算方法被称 为渐近复杂度分析（asymptotic complexity analysis），简称复杂度分析。 复杂度分析能够体现算法运行所需的时间和空 它独立于测试环境，分析结果适用于所有运行平台。 ‧ 它可以体现不同数据量下的算法效率，尤其是在大数据量下的算法性能。 Tip 如果你仍对复杂度的概念感到困惑，无须担心，我们会在后续章节中详细介绍。 复杂度分析为我们提供了一把评估算法效率的“标尺”，使我们可以衡量执行某个算法所需的时间和空间资 源，对比不同算法之间的效率。 复杂度是个数学概念，对于初学者可能比较抽象，学习难度相对较高。从这个角度看，复杂度分析可能不太 适

簡而言之，我們的目標是設計“既快又省”的資料結構與演算法。而有效地評估演算法效率至關重要，因為 只有這樣，我們才能將各種演算法進行對比，進而指導演算法設計與最佳化過程。 效率評估方法主要分為兩種：實際測試、理論估算。 2.1.1 實際測試 假設我們現在有演算法 A 和演算法 B ，它們都能解決同一問題，現在需要對比這兩個演算法的效率。最直接 的方法是找一臺計算機，執行這兩個演算法，並監控記錄它們的執行時間和記憶體佔用情況。這種評估方式 短；而在輸入資料量較大時，測試結果可能恰恰相反。因 此，為了得到有說服力的結論，我們需要測試各種規模的輸入資料，而這需要耗費大量的計算資源。 2.1.2 理論估算 由於實際測試具有較大的侷限性，因此我們可以考慮僅透過一些計算來評估演算法的效率。這種估算方法被 稱為漸近複雜度分析（asymptotic complexity analysis），簡稱複雜度分析。 複雜度分析能夠體現演算法執行所需的時間 型別都與演算法執行時間的增長趨勢無關。 因此在時間複雜度分析中，我們可以簡單地將所有計算操作的執行時間視為相同的“單位時間”，從而 將“計算操作執行時間統計”簡化為“計算操作數量統計”，這樣一來估算難度就大大降低了。 ‧ 時間複雜度也存在一定的侷限性。例如，儘管演算法 A 和 C 的時間複雜度相同，但實際執行時間差別很 大。同樣，儘管演算法 B 的時間複雜度比 C 高，但在輸入資料大小 ?

数据的算术平均数（“平均数”）。 fmean() 快速的浮点算术平均值，带有可选的权重设置。 geometric_mean() 数据的几何平均数 harmonic_mean() 数据的调和均值 kde() 估算数据的概率密度分布。 kde_random() 对由 kde() 生成的 PDF 进行随机采样。 median() 数据的中位数（中间值） median_low() 数据的低中位数 median_high() cumulative 为真值，将返回一个累积分布函数。 如果 data 序列为空则会引发StatisticsError。 在 Wikipedia 提供的示例 中我们可以使用kde() 来生成并绘制从小样本中估算出的概率密度函数： >>> sample = [-2.1, -1.3, -0.4, 1.9, 5.1, 6.2] >>> f_hat = kde(sample, h=1.5) >>> xarr = 据点而非插值结果时可以使用高中位数。 statistics.median_grouped(data, interval=1.0) 针对围绕连续的、固定宽度区间的中点进行了 分组或分档 的数值数据估算中位数。 data 可以是任意数值数据的可迭代对象，其中每个值都恰好为分档的中点。至少必须有一个值。 interval 是每个分档的宽度。 例如，人口信息可能被归纳为按 10 年划分的连续年龄分组，每个分组由各区间的

数据的算术平均数（“平均数”）。 fmean() 快速的浮点算术平均值，带有可选的权重设置。 geometric_mean() 数据的几何平均数 harmonic_mean() 数据的调和均值 kde() 估算数据的概率密度分布。 kde_random() 对由 kde() 生成的 PDF 进行随机采样。 median() 数据的中位数（中间值） median_low() 数据的低中位数 median_high() cumulative 为真值，将返回一个累积分布函数。 如果 data 序列为空则会引发StatisticsError。 在 Wikipedia 提供的示例 中我们可以使用kde() 来生成并绘制从小样本中估算出的概率密度函数： >>> sample = [-2.1, -1.3, -0.4, 1.9, 5.1, 6.2] >>> f_hat = kde(sample, h=1.5) >>> xarr = 据点而非插值结果时可以使用高中位数。 statistics.median_grouped(data, interval=1.0) 针对围绕连续的、固定宽度区间的中点进行了 分组或分档 的数值数据估算中位数。 data 可以是任意数值数据的可迭代对象，其中每个值都恰好为分档的中点。至少必须有一个值。 interval 是每个分档的宽度。 例如，人口信息可能被归纳为按 10 年划分的连续年龄分组，每个分组由各区间的