直接拿到 Offer，但会引导你探索数据结构与算法的 “知识地图”，带你了解不同“地雷”的形状、大小和分布位置，让你掌握各种“排雷方法”。有了这些本领， 相信你可以更加自如地刷题和阅读文献，逐步构建起完整的知识体系。 我深深赞同费曼教授所言：“Knowledge isn’t free. You have to pay attention.”从这个意义上看，这本 书并非完全“免费”。为了不辜 256 12.2 分治搜索策略 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259 12.3 构建二叉树问题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261 12.4 汉诺塔问题 . . . 一方面，难以排除测试环境的干扰因素。硬件配置会影响算法的性能。比如在某台计算机中，算法 A 的运行 时间比算法 B 短；但在另一台配置不同的计算机中，可能得到相反的测试结果。这意味着我们需要在各种机 器上进行测试，统计平均效率，而这是不现实的。 另一方面，展开完整测试非常耗费资源。随着输入数据量的变化，算法会表现出不同的效率。例如，在输入 数据量较小时，算法 A 的运行时间比算法 B 短；而在输

直接拿到 Offer，但会引导你探索数据结构与算法的 “知识地图”，带你了解不同“地雷”的形状、大小和分布位置，让你掌握各种“排雷方法”。有了这些本领， 相信你可以更加自如地刷题和阅读文献，逐步构建起完整的知识体系。 我深深赞同费曼教授所言：“Knowledge isn’t free. You have to pay attention.”从这个意义上看，这本 书并非完全“免费”。为了不辜 258 12.2 分治搜索策略 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261 12.3 构建二叉树问题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263 12.4 汉诺塔问题 . . . 一方面，难以排除测试环境的干扰因素。硬件配置会影响算法的性能。比如在某台计算机中，算法 A 的运行 时间比算法 B 短；但在另一台配置不同的计算机中，可能得到相反的测试结果。这意味着我们需要在各种机 器上进行测试，统计平均效率，而这是不现实的。 另一方面，展开完整测试非常耗费资源。随着输入数据量的变化，算法会表现出不同的效率。例如，在输入 数据量较小时，算法 A 的运行时间比算法 B 短；而在输

直接拿到 Offer，但会引导你探索数据结构与算法的 “知识地图”，带你了解不同“地雷”的形状、大小和分布位置，让你掌握各种“排雷方法”。有了这些本领， 相信你可以更加自如地刷题和阅读文献，逐步构建起完整的知识体系。 我深深赞同费曼教授所言：“Knowledge isn’t free. You have to pay attention.”从这个意义上看，这本 书并非完全“免费”。为了不辜 256 12.2 分治搜索策略 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259 12.3 构建二叉树问题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261 12.4 汉诺塔问题 . . . 图 2‑4 递归调用深度 在实际中，编程语言允许的递归深度通常是有限的，过深的递归可能导致栈溢出错误。 2. 尾递归 有趣的是，如果函数在返回前的最后一步才进行递归调用，则该函数可以被编译器或解释器优化，使其在空 间效率上与迭代相当。这种情况被称为尾递归（tail recursion）。 ‧ 普通递归：当函数返回到上一层级的函数后，需要继续执行代码，因此系统需要保存上一层调用的上下 文。

拿到 Offer ，但会引导你探索数据结构与算法的“知 识地图”，带你了解不同“地雷”的形状大小和分布位置，让你掌握各种“排雷方法”。有了这些本领，相信 你可以更加自如地应对刷题和阅读文献，逐步构建起完整的知识体系。 本书中的代码附有可一键运行的源文件，托管于 github.com/krahets/hello‑algo 仓库。动画在 PDF 内的 展示效果受限，可访问 hello‑algo 256 12.2 分治搜索策略 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259 12.3 构建二叉树问题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261 12.4 汉诺塔问题 . . . 图 2‑4 递归调用深度 在实际中，编程语言允许的递归深度通常是有限的，过深的递归可能导致栈溢出报错。 2. 尾递归 有趣的是，如果函数在返回前的最后一步才进行递归调用，则该函数可以被编译器或解释器优化，使其在空 间效率上与迭代相当。这种情况被称为「尾递归 tail recursion」。 ‧ 普通递归：当函数返回到上一层级的函数后，需要继续执行代码，因此系统需要保存上一层调用的上下 文。

表現。比如一個演算法的並行度較高， 那麼它就更適合在多核 CPU 上執行，一個演算法的記憶體操作密集，那麼它在高效能記憶體上的表現就會 更好。也就是說，演算法在不同的機器上的測試結果可能是不一致的。這意味著我們需要在各種機器上進行 測試，統計平均效率，而這是不現實的。 另一方面，展開完整測試非常耗費資源。隨著輸入資料量的變化，演算法會表現出不同的效率。例如，在輸 入資料量較小時，演算法 A 圖 2‑4 遞迴呼叫深度 在實際中，程式語言允許的遞迴深度通常是有限的，過深的遞迴可能導致堆疊溢位錯誤。 2. 尾遞迴 有趣的是，如果函式在返回前的最後一步才進行遞迴呼叫，則該函式可以被編譯器或直譯器最佳化，使其在 空間效率上與迭代相當。這種情況被稱為尾遞迴（tail recursion）。 ‧ 普通遞迴：當函式返回到上一層級的函式後，需要繼續執行程式碼，因此系統需要儲存上一層呼叫的上 下文。 尾遞迴：求和操作是在“遞”的過程中執行的，“迴”的過程只需層層返回。 第 2 章 複雜度分析 www.hello‑algo.com 25 圖 2‑5 尾遞迴過程 Tip 請注意，許多編譯器或直譯器並不支持尾遞迴最佳化。例如，Python 預設不支持尾遞迴最佳化，因 此即使函式是尾遞迴形式，仍然可能會遇到堆疊溢位問題。 3. 遞迴樹 當處理與“分治”相關的演算法問題時，遞迴往往比迭代的