；而如果给定的数据是固定 位数的整数（例如学号），那么我们就可以用效率更高的“基数排序”来做，将时间复杂度降为 ?(??) ， 其中 ? 为位数。当数据体量很大时，节省出来的运行时间就能创造较大价值（成本降低、体验变好等）。 在工程领域中，大量问题是难以达到最优解的，许多问题只是被“差不多”地解决了。问题的难易程度一方 面取决于问题本身的性质，另一方面也取决于观测问题的人的知识储备。人的知识越完备、经验越多，分析 除节点后，AVL 树不 会退化，从而使得各种操作的时间复杂度保持在 ?(log ?) 级别。换句话说，在需要频繁进行增删查改操作 的场景中，AVL 树能始终保持高效的数据操作性能，具有很好的应用价值。 7.5.1 AVL 树常见术语 AVL 树既是二叉搜索树，也是平衡二叉树，同时满足这两类二叉树的所有性质，因此是一种平衡二叉搜索树 （balanced binary search tree）。 点着色，使得相邻顶点颜色不同。 组合优化问题：这类问题的目标是在一个组合空间中找到满足某些条件的最优解。 ‧ 0‑1 背包问题：给定一组物品和一个背包，每个物品有一定的价值和重量，要求在背包容量限制内，选 择物品使得总价值最大。 ‧ 旅行商问题：在一个图中，从一个点出发，访问所有其他点恰好一次后返回起点，求最短路径。 ‧ 最大团问题：给定一个无向图，找到最大的完全子图，即子图中的任意两个顶点之间都有边相连。

除节点后，AVL 树不 会退化，从而使得各种操作的时间复杂度保持在 ?(log ?) 级别。换句话说，在需要频繁进行增删查改操作 的场景中，AVL 树能始终保持高效的数据操作性能，具有很好的应用价值。 7.5.1 AVL 树常见术语 AVL 树既是二叉搜索树，也是平衡二叉树，同时满足这两类二叉树的所有性质，因此是一种平衡二叉搜索树 （balanced binary search tree）。 点着色，使得相邻顶点颜色不同。 组合优化问题：这类问题的目标是在一个组合空间中找到满足某些条件的最优解。 ‧ 0‑1 背包问题：给定一组物品和一个背包，每个物品有一定的价值和重量，要求在背包容量限制内，选 择物品使得总价值最大。 ‧ 旅行商问题：在一个图中，从一个点出发，访问所有其他点恰好一次后返回起点，求最短路径。 ‧ 最大团问题：给定一个无向图，找到最大的完全子图，即子图中的任意两个顶点之间都有边相连。 给定 ? 个物品，第 ? 个物品的重量为 ???[? − 1]、价值为 ???[? − 1] ，和一个容量为 ??? 的背包。每 个物品只能选择一次，问在限定背包容量下能放入物品的最大价值。 观察图 14‑17 ，由于物品编号 ? 从 1 开始计数，数组索引从 0 开始计数，因此物品 ? 对应重量 ???[? − 1] 和 价值 ???[? − 1] 。 第 14 章 动态规划 hello‑algo

除节点后，AVL 树 不会退化，从而使得各种操作的时间复杂度保持在 ?(log ?) 级别。换句话说，在需要频繁进行增删查改操 作的场景中，AVL 树能始终保持高效的数据操作性能，具有很好的应用价值。 第 7 章 树 hello‑algo.com 155 7.5.1 AVL 树常见术语 AVL 树既是二叉搜索树也是平衡二叉树，同时满足这两类二叉树的所有性质，因此也被称为「平衡二叉搜索 树 点着色，使得相邻顶点颜色不同。 组合优化问题：这类问题的目标是在一个组合空间中找到满足某些条件的最优解。 ‧ 0‑1 背包问题：给定一组物品和一个背包，每个物品有一定的价值和重量，要求在背包容量限制内，选 择物品使得总价值最大。 ‧ 旅行商问题：在一个图中，从一个点出发，访问所有其他点恰好一次后返回起点，求最短路径。 ‧ 最大团问题：给定一个无向图，找到最大的完全子图，即子图中的任意两个顶点之间都有边相连。 给定 ? 个物品，第 ? 个物品的重量为 ???[? − 1]、价值为 ???[? − 1] ，和一个容量为 ??? 的 背包。每个物品只能选择一次，问在不超过背包容量下能放入物品的最大价值。 观察图 14‑17 ，由于物品编号 ? 从 1 开始计数，数组索引从 0 开始计数，因此物品 ? 对应重量 ???[? − 1] 和 价值 ???[? − 1] 。 第 14 章 动态规划 hello‑algo

除节点后，AVL 树 不会退化，从而使得各种操作的时间复杂度保持在 ?(log ?) 级别。换句话说，在需要频繁进行增删查改操 作的场景中，AVL 树能始终保持高效的数据操作性能，具有很好的应用价值。 7.5.1 AVL 树常见术语 AVL 树既是二叉搜索树，也是平衡二叉树，同时满足这两类二叉树的所有性质，因此也被称为「平衡二叉搜 索树 balanced binary search tree」。 点着色，使得相邻顶点颜色不同。 组合优化问题：这类问题的目标是在一个组合空间中找到满足某些条件的最优解。 ‧ 0‑1 背包问题：给定一组物品和一个背包，每个物品有一定的价值和重量，要求在背包容量限制内，选 择物品使得总价值最大。 ‧ 旅行商问题：在一个图中，从一个点出发，访问所有其他点恰好一次后返回起点，求最短路径。 ‧ 最大团问题：给定一个无向图，找到最大的完全子图，即子图中的任意两个顶点之间都有边相连。 给定 ? 个物品，第 ? 个物品的重量为 ???[? − 1]、价值为 ???[? − 1] ，和一个容量为 ??? 的 背包。每个物品只能选择一次，问在限定背包容量下能放入物品的最大价值。 观察图 14‑17 ，由于物品编号 ? 从 1 开始计数，数组索引从 0 开始计数，因此物品 ? 对应重量 ???[? − 1] 和 价值 ???[? − 1] 。 第 14 章 动态规划 hello‑algo