的递归树（recursion tree）。 图 2‑6 斐波那契数列的递归树 从本质上看，递归体现了“将问题分解为更小子问题”的思维范式，这种分治策略至关重要。 ‧ 从算法角度看，搜索、排序、回溯、分治、动态规划等许多重要算法策略直接或间接地应用了这种思维 方式。 ‧ 从数据结构角度看，递归天然适合处理链表、树和图的相关问题，因为它们非常适合用分治思想进行分 析。 2.2.3 两者对比 总结以上内容，如表 从索引 ? 开始，向左进行线性遍历，当找到最左边的 target 时返回。 图 10‑5 线性查找重复元素的插入点 此方法虽然可用，但其包含线性查找，因此时间复杂度为 ?(?) 。当数组中存在很多重复的 target 时，该方 法效率很低。 现考虑拓展二分查找代码。如图 10‑6 所示，整体流程保持不变，每轮先计算中点索引 ? ，再判断 target 和 nums[m] 的大小关系，分为以下几种情况。 分治算法递归地将原问题划分为多个相互独立的子问题，直至最小子问题，并在回溯中合并子问题的 解，最终得到原问题的解。 ‧ 动态规划也对问题进行递归分解，但与分治算法的主要区别是，动态规划中的子问题是相互依赖的，在 分解过程中会出现许多重叠子问题。 ‧ 回溯算法在尝试和回退中穷举所有可能的解，并通过剪枝避免不必要的搜索分支。原问题的解由一系 列决策步骤构成，我们可以将每个决策步骤之前的子序列看作一个子问题。 实际上，动态规划常

的递归树（recursion tree）。 图 2‑6 斐波那契数列的递归树 从本质上看，递归体现了“将问题分解为更小子问题”的思维范式，这种分治策略至关重要。 ‧ 从算法角度看，搜索、排序、回溯、分治、动态规划等许多重要算法策略直接或间接地应用了这种思维 方式。 ‧ 从数据结构角度看，递归天然适合处理链表、树和图的相关问题，因为它们非常适合用分治思想进行分 析。 2.2.3 两者对比 总结以上内容，如表 从索引 ? 开始，向左进行线性遍历，当找到最左边的 target 时返回。 图 10‑5 线性查找重复元素的插入点 此方法虽然可用，但其包含线性查找，因此时间复杂度为 ?(?) 。当数组中存在很多重复的 target 时，该方 法效率很低。 现考虑拓展二分查找代码。如图 10‑6 所示，整体流程保持不变，每轮先计算中点索引 ? ，再判断 target 和 nums[m] 的大小关系，分为以下几种情况。 分治算法递归地将原问题划分为多个相互独立的子问题，直至最小子问题，并在回溯中合并子问题的 解，最终得到原问题的解。 ‧ 动态规划也对问题进行递归分解，但与分治算法的主要区别是，动态规划中的子问题是相互依赖的，在 分解过程中会出现许多重叠子问题。 ‧ 回溯算法在尝试和回退中穷举所有可能的解，并通过剪枝避免不必要的搜索分支。原问题的解由一系 列决策步骤构成，我们可以将每个决策步骤之前的子序列看作一个子问题。 实际上，动态规划常

的递归树（recursion tree）。 图 2‑6 斐波那契数列的递归树 从本质上看，递归体现了“将问题分解为更小子问题”的思维范式，这种分治策略至关重要。 ‧ 从算法角度看，搜索、排序、回溯、分治、动态规划等许多重要算法策略直接或间接地应用了这种思维 方式。 ‧ 从数据结构角度看，递归天然适合处理链表、树和图的相关问题，因为它们非常适合用分治思想进行分 析。 2.2.3 两者对比 总结以上内容，如表 从索引 ? 开始，向左进行线性遍历，当找到最左边的 target 时返回。 图 10‑5 线性查找重复元素的插入点 此方法虽然可用，但其包含线性查找，因此时间复杂度为 ?(?) 。当数组中存在很多重复的 target 时，该方 法效率很低。 第 10 章 搜索 hello‑algo.com 213 现考虑拓展二分查找代码。如图 10‑6 所示，整体流程保持不变，每轮先计算中点索引 ? ，再判断 分治算法递归地将原问题划分为多个相互独立的子问题，直至最小子问题，并在回溯中合并子问题的 解，最终得到原问题的解。 ‧ 动态规划也对问题进行递归分解，但与分治算法的主要区别是，动态规划中的子问题是相互依赖的，在 分解过程中会出现许多重叠子问题。 ‧ 回溯算法在尝试和回退中穷举所有可能的解，并通过剪枝避免不必要的搜索分支。原问题的解由一系 列决策步骤构成，我们可以将每个决策步骤之前的子序列看作一个子问题。 实际上，动态规划常

的递归树（recursion tree）。 图 2‑6 斐波那契数列的递归树 从本质上看，递归体现了“将问题分解为更小子问题”的思维范式，这种分治策略至关重要。 ‧ 从算法角度看，搜索、排序、回溯、分治、动态规划等许多重要算法策略直接或间接地应用了这种思维 方式。 ‧ 从数据结构角度看，递归天然适合处理链表、树和图的相关问题，因为它们非常适合用分治思想进行分 析。 2.2.3 两者对比 总结以上内容，如表 从索引 ? 开始，向左进行线性遍历，当找到最左边的 target 时返回。 图 10‑5 线性查找重复元素的插入点 此方法虽然可用，但其包含线性查找，因此时间复杂度为 ?(?) 。当数组中存在很多重复的 target 时，该方 法效率很低。 现考虑拓展二分查找代码。如图 10‑6 所示，整体流程保持不变，每轮先计算中点索引 ? ，再判断 target 和 nums[m] 的大小关系，分为以下几种情况。 分治算法递归地将原问题划分为多个相互独立的子问题，直至最小子问题，并在回溯中合并子问题的 解，最终得到原问题的解。 ‧ 动态规划也对问题进行递归分解，但与分治算法的主要区别是，动态规划中的子问题是相互依赖的，在 分解过程中会出现许多重叠子问题。 ‧ 回溯算法在尝试和回退中穷举所有可能的解，并通过剪枝避免不必要的搜索分支。原问题的解由一系 列决策步骤构成，我们可以将每个决策步骤之前的子序列看作一个子问题。 实际上，动态规划常

的递归树（recursion tree）。 图 2‑6 斐波那契数列的递归树 从本质上看，递归体现了“将问题分解为更小子问题”的思维范式，这种分治策略至关重要。 ‧ 从算法角度看，搜索、排序、回溯、分治、动态规划等许多重要算法策略直接或间接地应用了这种思维 方式。 ‧ 从数据结构角度看，递归天然适合处理链表、树和图的相关问题，因为它们非常适合用分治思想进行分 析。 2.2.3 两者对比 总结以上内容，如表 从索引 ? 开始，向左进行线性遍历，当找到最左边的 target 时返回。 图 10‑5 线性查找重复元素的插入点 此方法虽然可用，但其包含线性查找，因此时间复杂度为 ?(?) 。当数组中存在很多重复的 target 时，该方 法效率很低。 现考虑拓展二分查找代码。如图 10‑6 所示，整体流程保持不变，每轮先计算中点索引 ? ，再判断 target 和 nums[m] 的大小关系，分为以下几种情况。 分治算法递归地将原问题划分为多个相互独立的子问题，直至最小子问题，并在回溯中合并子问题的 解，最终得到原问题的解。 ‧ 动态规划也对问题进行递归分解，但与分治算法的主要区别是，动态规划中的子问题是相互依赖的，在 分解过程中会出现许多重叠子问题。 ‧ 回溯算法在尝试和回退中穷举所有可能的解，并通过剪枝避免不必要的搜索分支。原问题的解由一系 列决策步骤构成，我们可以将每个决策步骤之前的子序列看作一个子问题。 实际上，动态规划常

recursion tree」。 图 2‑6 斐波那契数列的递归树 本质上看，递归体现“将问题分解为更小子问题”的思维范式，这种分治策略是至关重要的。 ‧ 从算法角度看，搜索、排序、回溯、分治、动态规划等许多重要算法策略都直接或间接地应用这种思维 方式。 ‧ 从数据结构角度看，递归天然适合处理链表、树和图的相关问题，因为它们非常适合用分治思想进行分 析。 2.3 时间复杂度 运行时间可以直观且准 target 时返回。 第 10 章 搜索 hello‑algo.com 209 图 10‑5 线性查找重复元素的插入点 此方法虽然可用，但其包含线性查找，因此时间复杂度为 ?(?) 。当数组中存在很多重复的 target 时，该方 法效率很低。 现考虑拓展二分查找代码。如图 10‑6 所示，整体流程保持不变，每轮先计算中点索引 ? ，再判断 target 和 nums[m] 大小关系，分为以下几种情况。 分治算法递归地将原问题划分为多个相互独立的子问题，直至最小子问题，并在回溯中合并子问题的 解，最终得到原问题的解。 ‧ 动态规划也对问题进行递归分解，但与分治算法的主要区别是，动态规划中的子问题是相互依赖的，在 分解过程中会出现许多重叠子问题。 ‧ 回溯算法在尝试和回退中穷举所有可能的解，并通过剪枝避免不必要的搜索分支。原问题的解由一系 列决策步骤构成，我们可以将每个决策步骤之前的子序列看作为一个子问题。 实际上，动态规划

recursion tree」。 图 2‑6 斐波那契数列的递归树 从本质上看，递归体现了“将问题分解为更小子问题”的思维范式，这种分治策略至关重要。 ‧ 从算法角度看，搜索、排序、回溯、分治、动态规划等许多重要算法策略直接或间接地应用了这种思维 方式。 ‧ 从数据结构角度看，递归天然适合处理链表、树和图的相关问题，因为它们非常适合用分治思想进行分 析。 2.2.3 两者对比 总结以上内容，如表 target 时返回。 第 10 章 搜索 hello‑algo.com 212 图 10‑5 线性查找重复元素的插入点 此方法虽然可用，但其包含线性查找，因此时间复杂度为 ?(?) 。当数组中存在很多重复的 target 时，该方 法效率很低。 现考虑拓展二分查找代码。如图 10‑6 所示，整体流程保持不变，每轮先计算中点索引 ? ，再判断 target 和 nums[m] 的大小关系，分为以下几种情况。 分治算法递归地将原问题划分为多个相互独立的子问题，直至最小子问题，并在回溯中合并子问题的 解，最终得到原问题的解。 ‧ 动态规划也对问题进行递归分解，但与分治算法的主要区别是，动态规划中的子问题是相互依赖的，在 分解过程中会出现许多重叠子问题。 ‧ 回溯算法在尝试和回退中穷举所有可能的解，并通过剪枝避免不必要的搜索分支。原问题的解由一系 列决策步骤构成，我们可以将每个决策步骤之前的子序列看作一个子问题。 实际上，动态规划常

recursion tree」。 图 2‑6 斐波那契数列的递归树 本质上看，递归体现“将问题分解为更小子问题”的思维范式，这种分治策略是至关重要的。 ‧ 从算法角度看，搜索、排序、回溯、分治、动态规划等许多重要算法策略都直接或间接地应用这种思维 方式。 ‧ 从数据结构角度看，递归天然适合处理链表、树和图的相关问题，因为它们非常适合用分治思想进行分 析。 2.3 时间复杂度 运行时间可以直观且准 从索引 ? 开始，向左进行线性遍历，当找到最左边的 target 时返回。 图 10‑5 线性查找重复元素的插入点 此方法虽然可用，但其包含线性查找，因此时间复杂度为 ?(?) 。当数组中存在很多重复的 target 时，该方 法效率很低。 现考虑拓展二分查找代码。如图 10‑6 所示，整体流程保持不变，每轮先计算中点索引 ? ，再判断 target 和 nums[m] 大小关系，分为以下几种情况。 分治算法递归地将原问题划分为多个相互独立的子问题，直至最小子问题，并在回溯中合并子问题的 解，最终得到原问题的解。 ‧ 动态规划也对问题进行递归分解，但与分治算法的主要区别是，动态规划中的子问题是相互依赖的，在 分解过程中会出现许多重叠子问题。 ‧ 回溯算法在尝试和回退中穷举所有可能的解，并通过剪枝避免不必要的搜索分支。原问题的解由一系 列决策步骤构成，我们可以将每个决策步骤之前的子序列看作为一个子问题。 实际上，动态规划

recursion tree」。 图 2‑6 斐波那契数列的递归树 本质上看，递归体现“将问题分解为更小子问题”的思维范式，这种分治策略是至关重要的。 ‧ 从算法角度看，搜索、排序、回溯、分治、动态规划等许多重要算法策略都直接或间接地应用这种思维 方式。 ‧ 从数据结构角度看，递归天然适合处理链表、树和图的相关问题，因为它们非常适合用分治思想进行分 析。 2.3 时间复杂度 运行时间可以直观且准 target 时返回。 第 10 章 搜索 hello‑algo.com 209 图 10‑5 线性查找重复元素的插入点 此方法虽然可用，但其包含线性查找，因此时间复杂度为 ?(?) 。当数组中存在很多重复的 target 时，该方 法效率很低。 现考虑拓展二分查找代码。如图 10‑6 所示，整体流程保持不变，每轮先计算中点索引 ? ，再判断 target 和 nums[m] 大小关系，分为以下几种情况。 分治算法递归地将原问题划分为多个相互独立的子问题，直至最小子问题，并在回溯中合并子问题的 解，最终得到原问题的解。 ‧ 动态规划也对问题进行递归分解，但与分治算法的主要区别是，动态规划中的子问题是相互依赖的，在 分解过程中会出现许多重叠子问题。 ‧ 回溯算法在尝试和回退中穷举所有可能的解，并通过剪枝避免不必要的搜索分支。原问题的解由一系 列决策步骤构成，我们可以将每个决策步骤之前的子序列看作为一个子问题。 实际上，动态规划

recursion tree」。 图 2‑6 斐波那契数列的递归树 从本质上看，递归体现了“将问题分解为更小子问题”的思维范式，这种分治策略至关重要。 ‧ 从算法角度看，搜索、排序、回溯、分治、动态规划等许多重要算法策略直接或间接地应用了这种思维 方式。 ‧ 从数据结构角度看，递归天然适合处理链表、树和图的相关问题，因为它们非常适合用分治思想进行分 析。 2.2.3 两者对比 总结以上内容，如表 target 时返回。 图 10‑5 线性查找重复元素的插入点 第 10 章 搜索 hello‑algo.com 213 此方法虽然可用，但其包含线性查找，因此时间复杂度为 ?(?) 。当数组中存在很多重复的 target 时，该方 法效率很低。 现考虑拓展二分查找代码。如图 10‑6 所示，整体流程保持不变，每轮先计算中点索引 ? ，再判断 target 和 nums[m] 的大小关系，分为以下几种情况。 分治算法递归地将原问题划分为多个相互独立的子问题，直至最小子问题，并在回溯中合并子问题的 解，最终得到原问题的解。 ‧ 动态规划也对问题进行递归分解，但与分治算法的主要区别是，动态规划中的子问题是相互依赖的，在 分解过程中会出现许多重叠子问题。 ‧ 回溯算法在尝试和回退中穷举所有可能的解，并通过剪枝避免不必要的搜索分支。原问题的解由一系 列决策步骤构成，我们可以将每个决策步骤之前的子序列看作一个子问题。 实际上，动态规划常