source, target): for each vertex v in Graph.Vertices: prev[v] ← UNDEFINED # predecessors of v (visited set) create (vertex, vertex, dist) priority queue Q start, 0)) # add start vertex to priority queue while Q is not empty: (p,u,dist_u) ← Q.extract_min() # remove next best vertex (u) and its predecessor of (u) if u is target: # end if we are at the target vertex break for each neighbor v of u with prev[v] is UNDEFINED: dist_v ← dist_u + Graph

graph from starting vertex S 。Find all vertices reachable on an edge from s (level 1) *。Find all unvisited vertices reachable on an edge from those while (! done) { = visited vertex { for v in neighbors(u) visit Adjacency-List Algorit BFS(G, 9) hms Enumerate vertices 1 for each vertex ET(G) “Vertex 2 color[u] 二 WHITE - ww 3 color[sl bfs(conat Grapht graph，vertex_id_t source) { sing vertex_id_type = vertex_id_t; Enumerate atd: :vector color(size(graph)) -一 Vertices for (vertex_id_type u = 0i u < size(graph);

堆化操作用于修复堆的特性，在入堆和出堆操作中都会使用到。 ‧ 输入 ? 个元素并建堆的时间复杂度可以被优化至 ?(?) ，非常高效。 134 9. 图 9.1. 图 「图 Graph」是一种非线性数据结构，由「顶点 Vertex」和「边 Edge」组成。我们可将图 ? 抽象地表示为一 组顶点 ? 和一组边 ? 的集合。例如，以下表示一个包含 5 个顶点和 7 条边的图 ? = {1, 2, 3, 4, 5} ? = 我们在邻接表中使用 Vertex 结点类来表示顶点， 这样做的原因是： ‧ 如果我们选择通过顶点值来区分不同顶点，那么值重复的顶点将无法被区分。 ‧ 如果类似邻接矩阵那样，使用顶点列表索引来区分不同顶点。那么，假设我们想要删除索引为 ? 的顶点， 则需要遍历整个邻接表，将其中 > ? 的索引全部执行 −1 ，这样操作效率太低。 ‧ 因此我们考虑引入顶点类 Vertex ，使得每个顶点都是 public: // 邻接表，key: 顶点，value：该顶点的所有邻接顶点 unordered_map<Vertex*, vector<Vertex*>> adjList; /* 在 vector 中删除指定结点 */ void remove(vector<Vertex*> &vec, Vertex *vet) { for (int i = 0; i < vec.size(); i++) { if

堆化操作用于修复堆的特性，在入堆和出堆操作中都会使用到。 ‧ 输入 ? 个元素并建堆的时间复杂度可以被优化至 ?(?) ，非常高效。 134 9. 图 9.1. 图 「图 Graph」是一种非线性数据结构，由「顶点 Vertex」和「边 Edge」组成。我们可将图 ? 抽象地表示为一 组顶点 ? 和一组边 ? 的集合。例如，以下表示一个包含 5 个顶点和 7 条边的图 ? = {1, 2, 3, 4, 5} ? = 我们在邻接表中使用 Vertex 结点类来表示顶点， 这样做的原因是： ‧ 如果我们选择通过顶点值来区分不同顶点，那么值重复的顶点将无法被区分。 ‧ 如果类似邻接矩阵那样，使用顶点列表索引来区分不同顶点。那么，假设我们想要删除索引为 ? 的顶点， 则需要遍历整个邻接表，将其中 > ? 的索引全部执行 −1 ，这样操作效率太低。 ‧ 因此我们考虑引入顶点类 Vertex ，使得每个顶点都是 public: // 邻接表，key: 顶点，value：该顶点的所有邻接顶点 unordered_map<Vertex*, vector<Vertex*>> adjList; /* 在 vector 中删除指定结点 */ void remove(vector<Vertex*> &vec, Vertex *vet) { for (int i = 0; i < vec.size(); i++) { if

存泄露。相较于栈内 存，堆内存的管理和使用需要更谨慎，不恰当的使用可能会导致内存泄露和野指针等问题。 163 9. 图 9.1. 图 「图 Graph」是一种非线性数据结构，由「顶点 Vertex」和「边 Edge」组成。我们可以将图 ? 抽象地表示 为一组顶点 ? 和一组边 ? 的集合。以下示例展示了一个包含 5 个顶点和 7 条边的图。 ? = {1, 2, 3, 4, 5} ，我们在邻接表中使用 Vertex 节点类来表示 顶点，这样做的原因有： ‧ 如果我们选择通过顶点值来区分不同顶点，那么值重复的顶点将无法被区分。 ‧ 如果类似邻接矩阵那样，使用顶点列表索引来区分不同顶点。那么，假设我们想要删除索引为 ? 的顶 点，则需要遍历整个邻接表，将其中 > ? 的索引全部减 1 ，这样操作效率较低。 ‧ 因此我们考虑引入顶点类 Vertex ，使得每个顶点都是唯 // 邻接表，key: 顶点，value：该顶点的所有邻接顶点 unordered_map<Vertex *, vector<Vertex *>> adjList; /* 在 vector 中删除指定节点 */ void remove(vector<Vertex *> &vec, Vertex *vet) { for (int i = 0; i < vec.size(); i++) {

见的边相连。 每一次的相识与相离，都在这张巨大的网络图中留下独特的印记。 第 9 章 图 hello‑algo.com 189 9.1 图 图（graph）是一种非线性数据结构，由顶点（vertex）和边（edge）组成。我们可以将图 ? 抽象地表示为一 组顶点 ? 和一组边 ? 的集合。以下示例展示了一个包含 5 个顶点和 7 条边的图。 ? = {1, 2, 3, 4, 5} ? 为顶点实例，value 为该顶点的邻接顶点列表（链表）。 另外，我们在邻接表中使用 Vertex 类来表示顶点，这样做的原因是：如果与邻接矩阵一样，用列表索引来区 分不同顶点，那么假设要删除索引为 ? 的顶点，则需遍历整个邻接表，将所有大于 ? 的索引全部减 1 ，效率 很低。而如果每个顶点都是唯一的 Vertex 实例，删除某一顶点之后就无须改动其他顶点了。 第 9 章 图 hello‑algo public: // 邻接表，key：顶点，value：该顶点的所有邻接顶点 unordered_map<Vertex *, vector<Vertex *>> adjList; /* 在 vector 中删除指定节点 */ void remove(vector<Vertex *> &vec, Vertex *vet) { for (int i = 0; i < vec.size(); i++) {

边相连。 每一次的相识与相离，都在这张巨大的网络图中留下独特的印记。 第 9 章 图 hello‑algo.com 189 9.1 图 「图 graph」是一种非线性数据结构，由「顶点 vertex」和「边 edge」组成。我们可以将图 ? 抽象地表示为 一组顶点 ? 和一组边 ? 的集合。以下示例展示了一个包含 5 个顶点和 7 条边的图。 ? = {1, 2, 3, 4, 5} 为顶点实例，value 为该顶点的邻接顶点列表（链表）。 另外，我们在邻接表中使用 Vertex 类来表示顶点，这样做的原因是：如果与邻接矩阵一样，用列表索引来区 分不同顶点，那么假设要删除索引为 ? 的顶点，则需遍历整个邻接表，将所有大于 ? 的索引全部减 1 ，效率 很低。而如果每个顶点都是唯一的 Vertex 实例，删除某一顶点之后就无须改动其他顶点了。 // === File: graph_adjacency_list public: // 邻接表，key：顶点，value：该顶点的所有邻接顶点 unordered_map<Vertex *, vector<Vertex *>> adjList; /* 在 vector 中删除指定节点 */ void remove(vector<Vertex *> &vec, Vertex *vet) { for (int i = 0; i < vec.size(); i++) {

边相连。 每一次的相识与相离，都在这张巨大的网络图中留下独特的印记。 第 9 章 图 hello‑algo.com 187 9.1 图 「图 graph」是一种非线性数据结构，由「顶点 vertex」和「边 edge」组成。我们可以将图 ? 抽象地表示为 一组顶点 ? 和一组边 ? 的集合。以下示例展示了一个包含 5 个顶点和 7 条边的图。 ? = {1, 2, 3, 4, 5} 在邻接表中使用 Vertex 节点类来表示 顶点，而这样做是有原因的。 1. 如果我们选择通过顶点值来区分不同顶点，那么值重复的顶点将无法被区分。 2. 如果类似邻接矩阵那样，使用顶点列表索引来区分不同顶点。那么，假设我们想要删除索引为 ? 的顶 点，则需要遍历整个邻接表，将其中 > ? 的索引全部减 1 ，这样操作效率较低。 3. 因此我们考虑引入顶点类 Vertex ，使得每个顶点都 顶点，value：该顶点的所有邻接顶点 第 9 章 图 hello‑algo.com 196 unordered_map<Vertex *, vector<Vertex *>> adjList; /* 在 vector 中删除指定节点 */ void remove(vector<Vertex *> &vec, Vertex *vet) { for (int i = 0; i < vec.size(); i++) {

连。 每一次的相识与相离，都在这张巨大的网络图中留下独特的印记。 第 9 章 图 www.hello‑algo.com 189 9.1 图 图（graph）是一种非线性数据结构，由顶点（vertex）和边（edge）组成。我们可以将图 ? 抽象地表示为一 组顶点 ? 和一组边 ? 的集合。以下示例展示了一个包含 5 个顶点和 7 条边的图。 ? = {1, 2, 3, 4, 5} ? 为顶点实例，value 为该顶点的邻接顶点列表（链表）。 另外，我们在邻接表中使用 Vertex 类来表示顶点，这样做的原因是：如果与邻接矩阵一样，用列表索引来区 分不同顶点，那么假设要删除索引为 ? 的顶点，则需遍历整个邻接表，将所有大于 ? 的索引全部减 1 ，效率 很低。而如果每个顶点都是唯一的 Vertex 实例，删除某一顶点之后就无须改动其他顶点了。 第 9 章 图 www.hello‑algo public: // 邻接表，key：顶点，value：该顶点的所有邻接顶点 unordered_map<Vertex *, vector<Vertex *>> adjList; /* 在 vector 中删除指定节点 */ void remove(vector<Vertex *> &vec, Vertex *vet) { for (int i = 0; i < vec.size(); i++) {

連。 每一次的相識與相離，都在這張巨大的網路圖中留下獨特的印記。 第 9 章 圖 www.hello‑algo.com 189 9.1 圖 圖（graph）是一種非線性資料結構，由頂點（vertex）和邊（edge）組成。我們可以將圖 ? 抽象地表示為一 組頂點 ? 和一組邊 ? 的集合。以下示例展示了一個包含 5 個頂點和 7 條邊的圖。 ? = {1, 2, 3, 4, 5} ? 為頂點例項，value 為該頂點的鄰接頂點串列（鏈結串列）。 另外，我們在鄰接表中使用 Vertex 類別來表示頂點，這樣做的原因是：如果與鄰接矩陣一樣，用串列索引來 區分不同頂點，那麼假設要刪除索引為 ? 的頂點，則需走訪整個鄰接表，將所有大於 ? 的索引全部減 1 ，效 率很低。而如果每個頂點都是唯一的 Vertex 例項，刪除某一頂點之後就無須改動其他頂點了。 // === File: graph_adjacency_list public: // 鄰接表，key：頂點，value：該頂點的所有鄰接頂點 unordered_map<Vertex *, vector<Vertex *>> adjList; /* 在 vector 中刪除指定節點 */ void remove(vector<Vertex *> &vec, Vertex *vet) { for (int i = 0; i < vec.size(); i++) {