. . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 7. 树 91 7.1. 二叉树 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 7.2. 二叉树遍历 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 7.3. 二叉搜索树 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 7.4. AVL 树 * . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 复杂度分析：数据结构与算法的评价维度、算法效率的评估方法。时间复杂度、空间复杂度，包括推算 方法、常见类型、示例等。 ‧ 数据结构：常用的基本数据类型，数据在内存中的存储方式、数据结构分类方法。数组、链表、栈、队列、 散列表、树、堆、图等数据结构，内容包括定义、优劣势、常用操作、常见类型、典型应用、实现方法等。 ‧ 算法：查找算法、排序算法、搜索与回溯、动态规划、分治算法，内容包括定义、使用场景、优劣势、时 空效率、实现方法、示例题目等。

. . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 7. 树 91 7.1. 二叉树 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 7.2. 二叉树遍历 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 7.3. 二叉搜索树 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 7.4. AVL 树 * . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 复杂度分析：数据结构与算法的评价维度、算法效率的评估方法。时间复杂度、空间复杂度，包括推算 方法、常见类型、示例等。 ‧ 数据结构：常用的基本数据类型，数据在内存中的存储方式、数据结构分类方法。数组、链表、栈、队列、 散列表、树、堆、图等数据结构，内容包括定义、优劣势、常用操作、常见类型、典型应用、实现方法等。 ‧ 算法：查找算法、排序算法、搜索与回溯、动态规划、分治算法，内容包括定义、使用场景、优劣势、时 空效率、实现方法、示例题目等。

. . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 7. 树 113 7.1. 二叉树 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 7.2. 二叉树遍历 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3. 二叉树数组表示 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 7.4. 二叉搜索树 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 7.5. AVL 树 * . . 2. 分治搜索策略 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 12.3. 构建二叉树问题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234 12.4. 汉诺塔问题 . . . .

件平凡或令人惊叹的事物背后，都隐藏着精 妙的算法思想。 同样，数据结构无处不在：大到社会网络，小到地铁线路，许多系统都可以建模为“图”；大到一个国家，小 到一个家庭，社会的主要组织形式呈现出“树”的特征；冬天的衣服就像“栈”，最先穿上的最后才能脱下； 羽毛球筒则如同“队列”，一端放入、另一端取出；字典就像一个“哈希表”，能够快速查找目标词条。 本书旨在通过清晰易懂的动画图解和可运行的代码 . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 第 7 章 树 137 7.1 二叉树 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 7.2 二叉树遍历 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3 二叉树数组表示 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 7.4 二叉搜索树 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 7.5 AVL 树 * . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . 135 第 7 章 树 137 7.1 二叉树 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 7.2 二叉树遍历 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3 二叉树数组表示 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 7.4 二叉搜索树 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 7.5 AVL 树 * . . 12.2 分治搜索策略 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263 12.3 构建二叉树问题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265 12.4 汉诺塔问题 . . . . .

件平凡或令人惊叹的事物背后，都隐藏着精 妙的算法思想。 同样，数据结构无处不在：大到社会网络，小到地铁线路，许多系统都可以建模为“图”；大到一个国家，小 到一个家庭，社会的主要组织形式呈现出“树”的特征；冬天的衣服就像“栈”，最先穿上的最后才能脱下； 羽毛球筒则如同“队列”，一端放入、另一端取出；字典就像一个“哈希表”，能够快速查找目标词条。 本书旨在通过清晰易懂的动画图解和可运行的代码 . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 第 7 章 树 137 7.1 二叉树 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 7.2 二叉树遍历 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3 二叉树数组表示 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 7.4 二叉搜索树 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 7.5 AVL 树 * . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . 129 第 7 章 树 132 7.1 二叉树 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 7.2 二叉树遍历 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3 二叉树数组表示 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 7.4 二叉搜索树 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 7.5 AVL 树 * . . 12.2 分治搜索策略 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263 12.3 构建二叉树问题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265 12.4 汉诺塔问题 . . . . .

148 7.4 二元搜尋樹 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 7.5 AVL 樹 * . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 7.6 小結 . -> " << pair->val << ", "; } cout << "]\n"; } } }; 值得注意的是，當鏈結串列很長時，查詢效率 ?(?) 很差。此時可以將鏈結串列轉換為“AVL 樹”或“紅黑 樹”，從而將查詢操作的時間複雜度最佳化至 ?(log ?) 。 6.2.2 開放定址 開放定址（open addressing）不引入額外的資料結構，而是透過“多次探測”來處理雜湊衝突，探測方式主 用於儲存資料流，以保持其有序狀態。 7.5 AVL 樹 * 在“二元搜尋樹”章節中我們提到，在多次插入和刪除操作後，二元搜尋樹可能退化為鏈結串列。在這種情 況下，所有操作的時間複雜度將從 ?(log ?) 劣化為 ?(?) 。 如圖 7‑24 所示，經過兩次刪除節點操作，這棵二元搜尋樹便會退化為鏈結串列。 第 7 章 樹 www.hello‑algo.com 161 圖 7‑24 AVL 樹在刪除節點後發生退化

是中根遍历，先左子节点，然后根节点，最后右子节点。 • 为什么是中根遍历？因为刚刚说了二叉排序树的规则是：左子节点＜父节点＜右子节点。 • 这刚好是中根遍历的顺序，左中右。所以迭代器的 ++ 方向刚好是 K 越来越大的方向。 • 结论：遍历时，总是会按 K 从小到大的顺序。 k k k k k k v v v v v v 小 大 第三章：二叉排序树 高效的查找离不开我 高效的查找离不开我 回顾 set 容器 set 容器又可以分为 set 、 multiset 、 unordered_set 、 unordered_multiset 四类。 • set 容器和 map 的相似之处在于他的底层实现都是二叉排序树，现在让我们来鞋习一下他吧 。 vector 查找为什么低效 • vector 又称线性数组。在 vector 中查找元素可以用 头文件里的 std::find 。 • set a = { 1, 4, 2, 8, 5, 7 }; • a.find(5); • set 之所以能够实现 O(logn) 复杂度高效查找，是因为他内部预先构建好了一棵二叉排序树。 • 如何构建的？请看动画： 1 4 2 8 5 7 待插入的数 set 查找为什么高效 • set 又称集合（数学概念），是专为查找优化的容器，查找元素要用他自带的 find 函数。 •

list 都可以调用 std::find （ set 则直接提供了 find 作为成员函数，稍后 讨论） set 和 vector 迭代器的不同点 • set 的迭代器对象也重载了 + + 为红黑树的遍历。 • vector 提供了 + 和 += 的重 载，而 set 没有。这是因为 vector 中的元素在内存中是连 续的，可以随机访问。而 set 是不连续的，所以不能随机访 问，只能顺序访问。 ，里面的元素都是完全随机 的顺序，和插入的顺序也不 一样。虽然你可能注意到这 里的刚好和插入的顺序相反 ？巧合而已，具体怎么顺序 是和 glibc 实现有关的。 • set 基于红黑树实现，相当 于二分查找 树， unordered_set 基于散 列哈希表实现，正是哈希函 数导致了随机的顺序。 不同版本的 set 容器比较 类型 去重 有序 查找 插入 vector × × O(n) O(1)