”。 2. 归：触发“终止条件”后，程序从最深层的递归函数开始逐层返回，汇聚每一层的结果。 而从实现的角度看，递归代码主要包含三个要素。 1. 终止条件：用于决定什么时候由“递”转“归”。 2. 递归调用：对应“递”，函数调用自身，通常输入更小或更简化的参数。 3. 返回结果：对应“归”，将当前递归层级的结果返回至上一层。 观察以下代码，我们只需调用函数 recur(n) ，就可以完成 间效率上与迭代相当。这种情况被称为尾递归（tail recursion）。 ‧ 普通递归：当函数返回到上一层级的函数后，需要继续执行代码，因此系统需要保存上一层调用的上下 文。 ‧ 尾递归：递归调用是函数返回前的最后一个操作，这意味着函数返回到上一层级后，无须继续执行其他 操作，因此系统无须保存上一层函数的上下文。 以计算 1 + 2 + ⋯ + ? 为例，我们可以将结果变量 res 设为函数参数，从而实现尾递归： 省略所有系数。例如，循环 2? 次、5? + 1 次等，都可以简化记为 ? 次，因为 ? 前面的系数对时间复 杂度没有影响。 3. 循环嵌套时使用乘法。总操作数量等于外层循环和内层循环操作数量之积，每一层循环依然可以分别 套用第 1. 点和第 2. 点的技巧。 给定一个函数，我们可以用上述技巧来统计操作数量： void algorithm(int n) { int a = 1; // +0（技巧

”。 2. 归：触发“终止条件”后，程序从最深层的递归函数开始逐层返回，汇聚每一层的结果。 而从实现的角度看，递归代码主要包含三个要素。 1. 终止条件：用于决定什么时候由“递”转“归”。 2. 递归调用：对应“递”，函数调用自身，通常输入更小或更简化的参数。 3. 返回结果：对应“归”，将当前递归层级的结果返回至上一层。 观察以下代码，我们只需调用函数 recur(n) ，就可以完成 间效率上与迭代相当。这种情况被称为「尾递归 tail recursion」。 ‧ 普通递归：当函数返回到上一层级的函数后，需要继续执行代码，因此系统需要保存上一层调用的上下 文。 ‧ 尾递归：递归调用是函数返回前的最后一个操作，这意味着函数返回到上一层级后，无须继续执行其他 操作，因此系统无须保存上一层函数的上下文。 以计算 1 + 2 + ⋯ + ? 为例，我们可以将结果变量 res 设为函数参数，从而实现尾递归： 省略所有系数。例如，循环 2? 次、5? + 1 次等，都可以简化记为 ? 次，因为 ? 前面的系数对时间复 杂度没有影响。 3. 循环嵌套时使用乘法。总操作数量等于外层循环和内层循环操作数量之积，每一层循环依然可以分别 套用第 1. 点和第 2. 点的技巧。 给定一个函数，我们可以用上述技巧来统计操作数量： void algorithm(int n) { int a = 1; // +0（技巧

”。 2. 归：触发“终止条件”后，程序从最深层的递归函数开始逐层返回，汇聚每一层的结果。 而从实现的角度看，递归代码主要包含三个要素。 1. 终止条件：用于决定什么时候由“递”转“归”。 2. 递归调用：对应“递”，函数调用自身，通常输入更小或更简化的参数。 3. 返回结果：对应“归”，将当前递归层级的结果返回至上一层。 观察以下代码，我们只需调用函数 recur(n) ，就可以完成 间效率上与迭代相当。这种情况被称为尾递归（tail recursion）。 ‧ 普通递归：当函数返回到上一层级的函数后，需要继续执行代码，因此系统需要保存上一层调用的上下 文。 ‧ 尾递归：递归调用是函数返回前的最后一个操作，这意味着函数返回到上一层级后，无须继续执行其他 操作，因此系统无须保存上一层函数的上下文。 以计算 1 + 2 + ⋯ + ? 为例，我们可以将结果变量 res 设为函数参数，从而实现尾递归： 省略所有系数。例如，循环 2? 次、5? + 1 次等，都可以简化记为 ? 次，因为 ? 前面的系数对时间复 杂度没有影响。 3. 循环嵌套时使用乘法。总操作数量等于外层循环和内层循环操作数量之积，每一层循环依然可以分别 套用第 1. 点和第 2. 点的技巧。 给定一个函数，我们可以用上述技巧来统计操作数量： void algorithm(int n) { int a = 1; // +0（技巧

省略所有系数。例如，循环 2? 次、5? + 1 次、⋯⋯，都可以化简记为 ? 次，因为 ? 前面的系数对时间 复杂度也不产生影响。 3. 循环嵌套时使用乘法。总操作数量等于外层循环和内层循环操作数量之积，每一层循环依然可以分别套 用上述 1. 和 2. 技巧。 以下示例展示了使用上述技巧前、后的统计结果。 ?(?) = 2?(? + 1) + (5? + 1) + 2 完整统计 (‑.‑|||) = logRecur(float n) { if (n <= 1) return 0; return logRecur(n / 2) + 1; } 线性对数阶 ?(? log ?) 线性对数阶常出现于嵌套循环中，两层循环的时间复杂度分别为 ?(log ?) 和 ?(?) 。 主流排序算法的时间复杂度都是 ?(? log ?) ，例如快速排序、归并排序、堆排序等。 2. 复杂度分析 hello‑algo.com 个互不重复的元素，求其所有可能的排列方案，则方案数量为 ?! = ? × (? − 1) × (? − 2) × ⋯ × 2 × 1 阶乘常使用递归实现。例如以下代码，第一层分裂出 ? 个，第二层分裂出 ? − 1 个，⋯⋯，直至到第 ? 层时 终止分裂。 // === File: time_complexity.cpp === /* 阶乘阶（递归实现） */ int factorialRecur(int

省略所有系数。例如，循环 2? 次、5? + 1 次、⋯⋯，都可以化简记为 ? 次，因为 ? 前面的系数对时间 复杂度也不产生影响。 3. 循环嵌套时使用乘法。总操作数量等于外层循环和内层循环操作数量之积，每一层循环依然可以分别套 用上述 1. 和 2. 技巧。 以下示例展示了使用上述技巧前、后的统计结果。 ?(?) = 2?(? + 1) + (5? + 1) + 2 完整统计 (‑.‑|||) = logRecur(float n) { if (n <= 1) return 0; return logRecur(n / 2) + 1; } 线性对数阶 ?(? log ?) 线性对数阶常出现于嵌套循环中，两层循环的时间复杂度分别为 ?(log ?) 和 ?(?) 。 主流排序算法的时间复杂度都是 ?(? log ?) ，例如快速排序、归并排序、堆排序等。 2. 复杂度分析 hello‑algo.com 个互不重复的元素，求其所有可能的排列方案，则方案数量为 ?! = ? × (? − 1) × (? − 2) × ⋯ × 2 × 1 阶乘常使用递归实现。例如以下代码，第一层分裂出 ? 个，第二层分裂出 ? − 1 个，⋯⋯，直至到第 ? 层时 终止分裂。 // === File: time_complexity.cpp === /* 阶乘阶（递归实现） */ int factorialRecur(int

”。 2. 归：触发“终止条件”后，程序从最深层的递归函数开始逐层返回，汇聚每一层的结果。 而从实现的角度看，递归代码主要包含三个要素。 1. 终止条件：用于决定什么时候由“递”转“归”。 2. 递归调用：对应“递”，函数调用自身，通常输入更小或更简化的参数。 3. 返回结果：对应“归”，将当前递归层级的结果返回至上一层。 观察以下代码，我们只需调用函数 recur(n) ，就可以完成 间效率上与迭代相当。这种情况被称为「尾递归 tail recursion」。 ‧ 普通递归：当函数返回到上一层级的函数后，需要继续执行代码，因此系统需要保存上一层调用的上下 文。 ‧ 尾递归：递归调用是函数返回前的最后一个操作，这意味着函数返回到上一层级后，无需继续执行其他 操作，因此系统无需保存上一层函数的上下文。 以计算 1 + 2 + ⋯ + ? 为例，我们可以将结果变量 res 设为函数参数，从而实现尾递归。 省略所有系数。例如，循环 2? 次、5? + 1 次等，都可以简化记为 ? 次，因为 ? 前面的系数对时间复 杂度没有影响。 3. 循环嵌套时使用乘法。总操作数量等于外层循环和内层循环操作数量之积，每一层循环依然可以分别 套用第 1. 点和第 2. 点的技巧。 给定一个函数，我们可以用上述技巧来统计操作数量。 void algorithm(int n) { int a = 1; // +0（技巧

省略所有系数。例如，循环 2? 次、5? + 1 次等，都可以简化记为 ? 次，因为 ? 前面的系数对时间复 杂度没有影响。 3. 循环嵌套时使用乘法。总操作数量等于外层循环和内层循环操作数量之积，每一层循环依然可以分别 套用上述 1. 和 2. 技巧。 以下示例展示了使用上述技巧前、后的统计结果。 ?(?) = 2?(? + 1) + (5? + 1) + 2 完整统计 (‑.‑|||) = logRecur(float n) { if (n <= 1) return 0; return logRecur(n / 2) + 1; } 线性对数阶 ?(? log ?) 线性对数阶常出现于嵌套循环中，两层循环的时间复杂度分别为 ?(log ?) 和 ?(?) 。 主流排序算法的时间复杂度通常为 ?(? log ?) ，例如快速排序、归并排序、堆排序等。 // === File: time_complexity 个互不重复的元素，求其所有可能的排列方案，方案数量为： ?! = ? × (? − 1) × (? − 2) × ⋯ × 2 × 1 阶乘通常使用递归实现。例如以下代码，第一层分裂出 ? 个，第二层分裂出 ? − 1 个，以此类推，直至第 ? 层时终止分裂。 // === File: time_complexity.cpp === /* 阶乘阶（递归实现） */ int factorialRecur(int

free(a[i]); • free(a); • ↑ 有 Java 病的人，才会这样分配二维数组，又低效，又不方便。 • 造成了 m + 1 次 malloc 调用，内存都是分散的，每次访问都要解开两层指针，非常低效。 • 分配 n*m 二维数组，正确的方式永远是： float *a = malloc(n * m * sizeof(float)); • 也不要用 vector> 序的循环，其 X 是外层循环体，在先后执行的时间上是不连续的。 • 从而在硬件看来，以 YX 序遍历，就和顺序访问一维数组没什么两样，从而缓存预取能正 常运作，甚至编译器可以优化成一个 nx*ny 的一层循环。 • 而如果以 XY 序遍历，就像跳跃着访问一样，不连续，缓存得不到利用，每次读取只用了 其中 4 字节，浪费了缓存行剩下的 60 字节，非常低效。 • 结论： • 对于 YX 序（列主序， 造成的，一部分是因为跳 跃的访存让 CPU 没有办法自动预取造成的 。 封装成 ndarray 类 ndarray.h ，同学们可以在作业或 是自己的项目里随意使用。 不要再用 Java 式的二层三层指针 了，用 ndarray<2, float> 声明一 个二维浮点数组， ndarray<3, int> 声明一个三维整型数组。 这里的 ndarray 通过 a(x, y) 来 索引，看起来像

个元素的平衡二叉树，深 度只有 ceil(log(n+1)) 层。也就是说我们最多只需要 ceil(log(n+1)) 次大小判断，就能找到任 意一个数！因为算法复杂度可以忽略 +1 -1 这些小东西，所以 set 查找的最坏复杂度是 O(logn) ！ 2 1 4 5 8 7 4 要找的数 ceil(log(6+1)) = 3 层 4 < ? 从 set 到 map ：无非是外挂了个值类型 3 次就找到了目标。这还是最坏的情况，最好只需要 1 次就够了。 • 最坏的情况需要判断多少次？最坏不会超过树的深度，而一棵有着 n 个元素的平衡二叉树，深 度只有 ceil(log(n+1)) 层。也就是说我们最多只需要 ceil(log(n+1)) 次大小判断，就能找到任 意一个数！因为算法复杂度可以忽略 +1 -1 这些小东西，所以 set 查找的最坏复杂度是 O(1) ！ 4 要找的数

任务，一个负责下载，一个负责和用户交 互。并在主线程中等待该任务组里的任务 全部执行完毕。 • 区别在于，一个任务不一定对应一个线程 ，如果任务数量超过 CPU 最大的线程数， 会由 TBB 在用户层负责调度任务运行在 多个预先分配好的线程，而不是由操作系 统负责调度线程运行在多个物理核心。 封装好了： parallel_invoke 更好的例子 第 1 章：并行循环 时间复杂度（ time-efficiency auto_partitioner 快 3.31 倍 原因 • tbb::simple_partitioner 能够按照给定的粒度 大小（ grain ）将矩阵进行分块。块内部小区 域按照常规的两层循环访问以便矢量化，块外 部大区域则以类似 Z 字型的曲线遍历，这样 能保证每次访问的数据在地址上比较靠近，并 且都是最近访问过的，从而已经在缓存里可以 直接读写，避免了从主内存读写的超高延迟。